Номер 1.8, страница 13 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.8. Отметьте на плоскости четыре точки так, чтобы никакие три из них не лежали на одной прямой. Проведите прямую через каждую пару точек. Сколько прямых получится?

Для решения этой задачи необходимо определить, сколько различных прямых можно провести через 4 точки на плоскости, при условии, что никакие три из них не лежат на одной прямой.

Поскольку любая прямая однозначно определяется двумя точками, задача сводится к подсчету количества всех возможных пар точек из четырех данных. Условие, что никакие три точки не лежат на одной прямой, гарантирует, что каждая пара точек образует уникальную прямую.

Рассмотрим первый способ решения — перечисление. Обозначим точки буквами A, B, C и D. Прямые, проходящие через точку A, это AB, AC и AD, всего 3 прямые. Прямые, проходящие через точку B, не включая уже посчитанную прямую BA (которая совпадает с AB), это BC и BD, всего 2 новые прямые. Наконец, новая прямая, проходящая через точку C, не считая уже учтенные CA и CB, это прямая CD. Это еще 1 прямая. Все прямые, проходящие через точку D, уже были учтены. Итоговое количество прямых равно сумме: $3 + 2 + 1 = 6$.

Второй способ — использование комбинаторики. Задача заключается в том, чтобы найти количество сочетаний из 4 элементов (точек) по 2 (так как прямая определяется парой точек). Формула для числа сочетаний из $n$ по $k$ выглядит так: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

В нашем случае $n=4$ (общее количество точек) и $k=2$ (количество точек для определения прямой). Подставляем эти значения в формулу: $C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1)(2 \times 1)} = \frac{24}{4} = 6$.

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: 6.