Номер 1.15, страница 14 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.15. 1) Точки $\text{A}$ и $\text{B}$ расположены по разные стороны от прямой $\text{a}$, $C \in a$, $AB = 37$ дм, $AC = 12$ дм, $BC = 26$ дм. Является ли точка $\text{C}$ точкой пересечения отрезка $\text{AB}$ и прямой $\text{a}$?

2) Точки $\text{C}$ и $\text{D}$ лежат на отрезке $\text{AB}$ так, что $AC = DB$, точка $\text{C}$ лежит между точками $\text{A}$ и $\text{D}$. Найдите расстояние между серединами отрезков $\text{AB}$ и $\text{DB}$, если $AB = 58$ см, $CD = 2,8$ дм (рис. 1.12).

Рис. 1.12

1) Чтобы точка C являлась точкой пересечения отрезка AB и прямой a, необходимо, чтобы точки A, C и B лежали на одной прямой. Согласно аксиоме о расположении точек на прямой, если три точки лежат на одной прямой, то длина большего отрезка равна сумме длин двух меньших отрезков, которые он в себя включает.

В нашем случае, если точки A, C, B лежат на одной прямой, и C находится между A и B, то должно выполняться равенство $AC + BC = AB$.

Дано:

$AB = 37$ дм

$AC = 12$ дм

$BC = 26$ дм

Проверим, выполняется ли равенство:

$AC + BC = 12 + 26 = 38$ дм.

Сравним полученную сумму с длиной отрезка AB:

$38 \text{ дм} \neq 37 \text{ дм}$, следовательно $AC + BC \neq AB$.

Так как условие не выполняется, точки A, C и B не лежат на одной прямой. Это означает, что точка C не является точкой пересечения отрезка AB и прямой a.

Ответ: нет, не является.

2) Сначала приведем все величины к одной единице измерения, например, к сантиметрам.

$AB = 58$ см

$CD = 2.8$ дм = $2.8 \cdot 10$ см = $28$ см

Точки C и D лежат на отрезке AB в последовательности A, C, D, B. Длину всего отрезка AB можно представить как сумму длин его частей:

$AB = AC + CD + DB$

По условию задачи $AC = DB$. Заменим AC на DB в формуле:

$AB = DB + CD + DB = 2 \cdot DB + CD$

Подставим известные значения и найдем длину отрезка DB:

$58 = 2 \cdot DB + 28$

$2 \cdot DB = 58 - 28$

$2 \cdot DB = 30$

$DB = \frac{30}{2} = 15$ см

Пусть M — середина отрезка AB, а N — середина отрезка DB. Нам нужно найти расстояние между точками M и N, то есть длину отрезка MN.

Найдем положение точек M и N относительно конца отрезка, точки B.

Расстояние от точки B до середины M отрезка AB равно:

$MB = \frac{AB}{2} = \frac{58}{2} = 29$ см

Расстояние от точки B до середины N отрезка DB равно:

$NB = \frac{DB}{2} = \frac{15}{2} = 7.5$ см

Поскольку точки M и N лежат на отрезке AB, и мы знаем их расстояния от общего конца B, расстояние между ними равно разности этих расстояний:

$MN = MB - NB = 29 - 7.5 = 21.5$ см

Ответ: 21.5 см.