Номер 1.18, страница 14 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.18. Даны прямые $\text{p}$, $\text{q}$, $\text{m}$ и $\text{n}$. Известно, что прямые $\text{p}$, $\text{q}$ и $\text{m}$ пересекаются в одной точке и прямые $\text{q}$, $\text{m}$ и $\text{n}$ также пересекаются в одной точке. Докажите, что все четыре прямые проходят через одну и ту же точку.

Пусть прямые $p$, $q$ и $m$ пересекаются в точке $A$. По определению, это означает, что точка $A$ принадлежит каждой из этих трех прямых. В частности, точка $A$ лежит на прямой $q$ и на прямой $m$.

Пусть прямые $q$, $m$ и $n$ пересекаются в точке $B$. Аналогично, это означает, что точка $B$ принадлежит каждой из этих трех прямых. В частности, точка $B$ лежит на прямой $q$ и на прямой $m$.

Доказательство:

Из вышесказанного следует, что обе точки, $A$ и $B$, являются точками пересечения прямых $q$ и $m$. Теперь рассмотрим два возможных случая взаиморасположения прямых $q$ и $m$.

1. Прямые $q$ и $m$ различны и пересекаются. Согласно аксиоме геометрии, две различные прямые могут пересекаться не более чем в одной точке. Поскольку и точка $A$, и точка $B$ являются точками пересечения прямых $q$ и $m$, эти точки должны совпадать: $A=B$.

Раз точка $A$ и точка $B$ – это одна и та же точка, то все четыре прямые проходят через нее. Прямая $p$ проходит через точку $A$ по первому условию. Прямая $n$ проходит через точку $B$ по второму условию, а так как $A=B$, то прямая $n$ также проходит через точку $A$. Прямые $q$ и $m$ также проходят через точку $A$. Таким образом, все четыре прямые $p, q, m, n$ проходят через одну и ту же точку.

2. Прямые $q$ и $m$ совпадают. В этом случае условие "прямые $p, q, m$ пересекаются в одной точке" означает, что прямая $p$ пересекает общую прямую $q=m$ в точке $A$. А условие "прямые $q, m, n$ пересекаются в одной точке" означает, что прямая $n$ пересекает ту же прямую $q=m$ в точке $B$. В общем случае точки $A$ и $B$ на прямой $q=m$ могут быть разными. Однако, в стандартной постановке геометрических задач, перечисление прямых $q$ и $m$ подразумевает, что они различны. Если бы они совпадали, утверждение задачи было бы, вообще говоря, неверным.

Исходя из этого, мы рассматриваем основной, невырожденный случай (1), который соответствует условиям задачи.

Ответ: Утверждение доказано. Так как прямые $q$ и $m$ общие для двух групп пересекающихся прямых, точка их единственного пересечения является общей точкой для всех четырех прямых $p, q, m, n$.