Практические задания, страница 22 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Проведите прямую и отметьте на ней точки А и В. На отрезке АВ отметьте точку С. Среди лучей АВ, ВС, CA, AC и ВА найдите пары совпадающих.

2. Постройте с помощью транспортира углы, равные $90^\circ$, $50^\circ$, $120^\circ$.

3. Постройте углы $30^\circ$, $45^\circ$ и $60^\circ$ без измерительных инструментов. Проверьте точность построения с помощью транспортира.

4. Приведите примеры прямых углов, которые можно найти в вашем классе. По возможности измерьте их с помощью транспортира или угольника. Есть ли в классе пример развернутого угла? Обоснуйте свой ответ.

5. Изобразите с помощью рисунков, о чем говорится в аксиомах I - VII. Сравните свои рисунки с рисунками одноклассников и сформулируйте соответствующие аксиомы.

1. Сначала проведем прямую линию. Отметим на ней две различные точки, назовем их А и В. По условию, точка С должна лежать на отрезке АВ. Это значит, что точка С находится между точками А и В. Таким образом, точки на прямой располагаются в следующем порядке: А, С, В.

Теперь рассмотрим лучи. Луч — это часть прямой, состоящая из данной точки (начала луча) и всех точек, лежащих по одну сторону от неё. Луч обозначается двумя точками: первая — начало луча, вторая — любая другая точка на луче, задающая его направление.

Проанализируем данные лучи:

• Луч АВ: начало в точке А, направлен в сторону точки В. Он проходит через точку С.

• Луч АС: начало в точке А, направлен в сторону точки С. Он проходит через точку В.

• Луч ВС: начало в точке В, направлен в сторону точки С. Он направлен от В к А.

• Луч ВА: начало в точке В, направлен в сторону точки А. Он проходит через точку С.

• Луч СА: начало в точке С, направлен в сторону точки А.

• Луч СВ: такого луча в списке нет, но для полноты картины — он бы начинался в С и шел в сторону В.

Теперь найдем совпадающие пары. Два луча совпадают, если у них общее начало и они направлены в одну и ту же сторону.

1. Сравним лучи с началом в точке А: АВ и АС. Оба начинаются в А и направлены в одну сторону (вправо, если B правее А). Следовательно, лучи АВ и АС совпадают.

2. Сравним лучи с началом в точке В: ВС и ВА. Оба начинаются в В и направлены в одну сторону (в сторону А, то есть влево). Следовательно, лучи ВС и ВА совпадают.

3. Луч СА начинается в точке С. Других лучей с началом в точке С в списке нет, поэтому он не может совпасть ни с одним из них.

Ответ: Парами совпадающих лучей являются (АВ, АС) и (ВС, ВА).

2. Для построения угла заданной величины с помощью транспортира необходимо выполнить следующие шаги:

1. Начертите произвольный луч с началом в точке О. Это будет одна из сторон будущего угла. Отметьте на луче точку А.

2. Приложите транспортир так, чтобы его центр совпал с началом луча (точкой О), а нулевая отметка на шкале транспортира (0°) лежала на построенном луче ОА.

3. Найдите на шкале транспортира деление, соответствующее нужной величине угла. Для угла $90^\circ$ это будет отметка 90. Для угла $50^\circ$ — отметка 50. Для угла $120^\circ$ — отметка 120. Поставьте карандашом точку (назовем ее В) напротив этого деления.

4. Уберите транспортир и с помощью линейки проведите луч из точки О через поставленную точку В.

5. Полученный угол $\angle AOB$ и будет искомым углом. Эта процедура повторяется для каждого из заданных значений: $90^\circ$, $50^\circ$ и $120^\circ$.

Ответ: Построение углов выполняется по описанному алгоритму с использованием транспортира и линейки.

3. Построение углов без измерительных инструментов выполняется с помощью циркуля и линейки без делений.

Построение угла $60^\circ$:

1. Проведите луч с началом в точке О.

2. Установите на циркуле произвольный раствор (радиус) и проведите дугу с центром в точке О так, чтобы она пересекла луч в некоторой точке А.

3. Не меняя раствора циркуля, установите его ножку в точку А и проведите еще одну дугу так, чтобы она пересекла первую дугу. Точку пересечения назовем В.

4. Соедините точку О с точкой В. Угол $\angle AOB$ равен $60^\circ$. Это следует из того, что треугольник OAB — равносторонний (все его стороны равны радиусу, заданному циркулем).

Построение угла $30^\circ$:

Угол $30^\circ$ — это половина угла $60^\circ$. Поэтому сначала строим угол $60^\circ$ (как описано выше), а затем делим его пополам (строим биссектрису).

1. Постройте угол $\angle AOB = 60^\circ$.

2. Из точек А и В (точек пересечения дуги со сторонами угла) проведите циркулем две дуги одинакового (произвольного) радиуса так, чтобы они пересеклись внутри угла. Точку их пересечения назовем С.

3. Проведите луч ОС. Этот луч является биссектрисой угла $\angle AOB$.

4. Угол $\angle AOC$ (и угол $\angle COB$) равен $30^\circ$.

Построение угла $45^\circ$:

Угол $45^\circ$ — это половина прямого угла ($90^\circ$). Сначала нужно построить прямой угол.

1. Проведите прямую и отметьте на ней точку О.

2. С центром в точке О проведите окружность произвольного радиуса. Она пересечет прямую в двух точках, М и N.

3. Из точек М и N проведите две дуги одинаковым радиусом, большим, чем расстояние ОМ, так, чтобы они пересеклись. Точку пересечения назовем D.

4. Соедините точку О и D. Луч OD перпендикулярен прямой MN, поэтому угол $\angle DON$ равен $90^\circ$.

5. Теперь разделите полученный прямой угол пополам (постройте его биссектрису) так же, как в построении угла $30^\circ$. Точки пересечения исходной дуги со сторонами угла $90^\circ$ (например, точка N и точка пересечения луча OD с дугой) будут центрами для новых дуг.

6. Полученный угол будет равен $45^\circ$.

После выполнения построений точность можно проверить, измерив полученные углы транспортиром.

Ответ: Описанные выше методы позволяют построить углы $30^\circ$, $45^\circ$ и $60^\circ$ с помощью циркуля и линейки.

4. Примеры прямых углов ($90^\circ$) в классе:

• Углы между смежными сторонами ученической парты или стола.

• Углы школьной доски (прямоугольной).

• Углы книги, тетради, учебника.

• Угол между стеной и полом, а также между двумя смежными стенами.

• Углы оконной рамы и дверного проема.

• Прямой угол у столярного угольника (если он есть в классе).

Измерить эти углы можно, приложив к ним транспортир или угольник. Если угольник плотно прилегает к углу, то этот угол прямой.

Пример развернутого угла ($180^\circ$) в классе:

Да, в классе можно найти примеры развернутого угла.

• Прямой край парты, стола или доски. Если на этом крае отметить любую точку, то два луча, выходящие из этой точки в противоположных направлениях вдоль края, образуют развернутый угол.

• Линия, проведенная по линейке на доске или в тетради.

• Книга, раскрытая полностью так, что ее обложки образуют одну плоскость. Угол вдоль линии сгиба будет равен $180^\circ$.

Обоснование: Развернутый угол — это угол, стороны которого лежат на одной прямой и направлены в разные стороны от вершины. Любая точка на прямой линии делит эту прямую на два луча, которые вместе и образуют развернутый угол, равный $180^\circ$.

Ответ: В классе много примеров прямых углов (углы парт, доски, книг). Примеры развернутых углов — это любой прямой край (стола, линейки) или прямая линия, на которой выбрана точка-вершина.

5. Ниже представлены описания рисунков, иллюстрирующих основные аксиомы геометрии, и формулировки этих аксиом.

Аксиома I (Аксиома принадлежности)

Рисунок: Изображена прямая линия $a$. На ней отмечены две точки, А и В. Рядом с прямой, в стороне от нее, отмечена точка С.

Формулировка: Через любые две точки проходит прямая, и притом только одна.

Аксиома II (Аксиома порядка)

Рисунок: Изображена прямая линия, на которой последовательно отмечены три точки: А, В, С. Подпись к рисунку: "Точка В лежит между А и С".

Формулировка: Из трех точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими.

Аксиома III (Аксиома разделения плоскости)

Рисунок: Изображена прямая линия $a$, которая делит плоскость листа. В одной части (полуплоскости) отмечены точки А и В, соединенные отрезком. Отрезок АВ не пересекает прямую $a$. В разных полуплоскостях отмечены точки А и С. Отрезок АС пересекает прямую $a$.

Формулировка: Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости.

Аксиома IV (Аксиома измерения отрезков)

Рисунок: Изображен отрезок АВ. Между точками А и В на отрезке отмечена точка С. Подписано, что длина отрезка АВ равна сумме длин отрезков АС и СВ. Например, $AB = AC + CB$.

Формулировка: Каждый отрезок имеет определенную длину, большую нуля. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его внутренней точкой.

Аксиома V (Аксиома измерения углов)

Рисунок: Изображен угол $\angle AOB$. Между его сторонами ОА и ОВ проведен луч ОС. Показано, что величина угла $\angle AOB$ равна сумме величин углов $\angle AOC$ и $\angle COB$. Например, $\angle AOB = \angle AOC + \angle COB$.

Формулировка: Каждый угол имеет определенную градусную меру, большую нуля. Развернутый угол равен $180^\circ$. Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами.

Аксиома VI (Аксиома откладывания отрезков и углов)

Рисунок 1 (отрезки): Изображен луч с началом в точке О. Рядом нарисован отрезок длиной $l$. На луче отмечена единственная точка А такая, что длина отрезка ОА равна $l$.

Рисунок 2 (углы): Изображен луч ОА. Показано, что в одну из полуплоскостей от этого луча можно отложить только один угол $\angle AOB$ с заданной градусной мерой $\alpha$.

Формулировка: На любом луче от его начальной точки можно отложить отрезок заданной длины, и притом только один. От любого луча в заданную полуплоскость можно отложить угол с заданной градусной мерой, меньшей $180^\circ$, и притом только один.

Аксиома VII (Аксиома параллельных прямых)

Рисунок: Изображена прямая $a$ и точка М, не лежащая на ней. Через точку М проведена прямая $b$, которая не пересекается с прямой $a$. Показано, что любая другая прямая, проходящая через М, пересечет прямую $a$.

Формулировка: Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

Сравнение своих рисунков с рисунками одноклассников помогает убедиться, что аксиомы — это универсальные утверждения, не зависящие от конкретного расположения точек и линий на чертеже.

Ответ: Аксиомы геометрии — это базовые утверждения, принимаемые без доказательства, которые описывают фундаментальные свойства геометрических фигур. Их можно проиллюстрировать с помощью простых чертежей, как описано выше.