Номер 1.20, страница 15 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.20. Отрезок длиной $\text{a}$ разделен произвольной точкой на два отрезка. Найдите расстояние между серединами этих отрезков.

Пусть дан отрезок $AB$ длиной $a$. Пусть произвольная точка $C$ на этом отрезке делит его на два отрезка: $AC$ и $CB$.

Обозначим длину отрезка $AC$ через $x$. Тогда, поскольку вся длина отрезка $AB$ равна $a$, длина второго отрезка $CB$ будет равна $a - x$. Итак, мы имеем $|AC| = x$ и $|CB| = a - x$.

Пусть точка $M_1$ является серединой первого отрезка $AC$. По определению середины, расстояние от $A$ до $M_1$ и от $M_1$ до $C$ одинаково и равно половине длины отрезка $AC$. То есть, $|AM_1| = |M_1C| = \frac{|AC|}{2} = \frac{x}{2}$.

Аналогично, пусть точка $M_2$ является серединой второго отрезка $CB$. Расстояние от $C$ до $M_2$ равно половине длины отрезка $CB$. То есть, $|CM_2| = \frac{|CB|}{2} = \frac{a - x}{2}$.

Нам нужно найти расстояние между серединами $M_1$ и $M_2$. Точки на исходном отрезке расположены в порядке $A, M_1, C, M_2, B$. Таким образом, расстояние между $M_1$ и $M_2$ равно сумме длин отрезков $M_1C$ и $CM_2$.

$|M_1M_2| = |M_1C| + |CM_2|$

Подставим найденные значения длин: $|M_1M_2| = \frac{x}{2} + \frac{a - x}{2}$

Сложим дроби с одинаковым знаменателем: $|M_1M_2| = \frac{x + (a - x)}{2} = \frac{x + a - x}{2} = \frac{a}{2}$

Таким образом, расстояние между серединами двух отрезков не зависит от положения точки $C$ и всегда равно половине длины исходного отрезка.

Ответ: $\frac{a}{2}$