Номер 1.16, страница 14 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.16. 1) Точки А и В расположены по разные стороны от прямой $\text{b}$, $C \in b$, $AB = 29$ см, $AC = 14$ см, $CB = 16$ см. Является ли точка С точкой пересечения отрезка $\text{AB}$ и прямой $\text{b}$? 2) Точки Е и F лежат на отрезке $\text{CD}$ так, что $CE = DF$, точка Е лежит между точками С и F. Расстояние между серединами отрезков $\text{CE}$ и $\text{DF}$ равно $8,5$ дм, а длина отрезка $\text{CD}$ равна $1,2$ м. Найдите $\text{EF}$.

1) Для того чтобы точка C являлась точкой пересечения отрезка AB и прямой b, необходимо, чтобы точка C лежала на отрезке AB. Если точка лежит на отрезке между двумя другими точками, то сумма расстояний от нее до концов отрезка должна быть равна длине всего отрезка. В данном случае должно выполняться равенство $AC + CB = AB$.

Проверим это условие, используя данные из задачи:

$AC = 14$ см

$CB = 16$ см

$AB = 29$ см

Найдем сумму длин отрезков AC и CB:

$AC + CB = 14 \text{ см} + 16 \text{ см} = 30 \text{ см}$.

Сравним полученную сумму с длиной отрезка AB:

$30 \text{ см} \neq 29 \text{ см}$, следовательно, $AC + CB \neq AB$.

Поскольку равенство не выполняется, точки A, C и B не лежат на одной прямой, а образуют треугольник. Значит, точка C не принадлежит отрезку AB и, следовательно, не может быть точкой его пересечения с прямой b.

Ответ: Нет, не является.

2) Для решения задачи приведем все единицы измерения к сантиметрам (см).

Длина отрезка CD: $CD = 1,2 \text{ м} = 120 \text{ см}$.

Расстояние между серединами M и N: $MN = 8,5 \text{ дм} = 85 \text{ см}$.

По условию, точки E и F лежат на отрезке CD, а точка E лежит между C и F. Таким образом, точки на прямой расположены в следующем порядке: C, E, F, D.

Длина отрезка CD складывается из длин его частей: $CD = CE + EF + FD$.

Так как по условию $CE = DF$, можно записать: $CD = CE + EF + CE = 2 \cdot CE + EF$.

Пусть M — середина отрезка CE, а N — середина отрезка DF. Расстояние MN складывается из длин отрезков ME, EF и FN: $MN = ME + EF + FN$.

По определению середины отрезка, $ME = \frac{1}{2}CE$ и $FN = \frac{1}{2}DF$.

Учитывая, что $CE = DF$, выражение для MN принимает вид: $MN = \frac{1}{2}CE + EF + \frac{1}{2}CE = CE + EF$.

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными, CE и EF:

1) $2 \cdot CE + EF = 120$

2) $CE + EF = 85$

Вычтем второе уравнение из первого, чтобы найти CE:

$(2 \cdot CE + EF) - (CE + EF) = 120 - 85$

$CE = 35 \text{ см}$.

Теперь подставим найденное значение CE во второе уравнение, чтобы найти EF:

$35 + EF = 85$

$EF = 85 - 35$

$EF = 50 \text{ см}$.

Ответ: 50 см.