Номер 1.9, страница 13 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.9. Даны четыре прямые, каждые две из которых пересекаются. Сколько точек пересечения имеют эти прямые, если через каждую точку пересечения проходят только две прямые?

Для решения этой задачи нужно понять, что значат её условия. У нас есть четыре прямые. "Каждые две из которых пересекаются" означает, что нет ни одной пары параллельных прямых. "Через каждую точку пересечения проходят только две прямые" означает, что никакие три (или четыре) прямые не пересекаются в одной и той же точке. Такая конфигурация прямых называется "общее положение".

Задачу можно решить двумя способами.

Способ 1: Последовательное построение

Давайте добавлять прямые по одной и считать появляющиеся точки пересечения:

1. Когда мы проводим первую прямую, точек пересечения еще нет. Количество точек: 0.

2. Проводим вторую прямую. По условию, она должна пересечь первую. Это создает 1 точку пересечения. Общее количество точек: 1.

3. Проводим третью прямую. Она должна пересечь и первую, и вторую прямые. Так как все точки пересечения должны быть уникальны, третья прямая создаст 2 новые точки пересечения. Общее количество точек становится $1 + 2 = 3$.

4. Проводим четвертую прямую. Аналогично, она должна пересечь все три уже существующие прямые. Это создаст 3 новые, различные точки пересечения. Общее количество точек становится $3 + 3 = 6$.

Способ 2: Комбинаторный подход

Каждая точка пересечения создается уникальной парой прямых. Таким образом, количество точек пересечения равно количеству способов, которыми можно выбрать пару прямых из четырех данных. Это является классической комбинаторной задачей на нахождение числа сочетаний.

Нужно найти число сочетаний из 4 элементов по 2. Формула для числа сочетаний:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В нашем случае $n=4$ (общее количество прямых), а $k=2$ (количество прямых, необходимых для образования одной точки пересечения).

Подставим значения в формулу:

$C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2! \cdot 2!} = \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1) \times (2 \times 1)} = \frac{24}{4} = 6$.

Оба способа показывают, что при заданных условиях четыре прямые будут иметь 6 точек пересечения.

Ответ: 6