Номер 1.22, страница 15 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.22. 1) На прямой $\text{a}$ расположены точки $\text{P}$, $\text{A}$ и $\text{B}$. Найдите $\text{PA}$ и $\text{PB}$, если $AB = 6 \text{ см}$ и $PA + PB = 9 \text{ см}$. 2) На прямой последовательно отмечены точки $\text{A}$, $\text{B}$, $\text{C}$ и $\text{D}$ так, что $AB = CD$. Существуют ли еще пары равных отрезков с концами в указанных точках?

1) Поскольку точки $P$, $A$ и $B$ лежат на одной прямой, то возможно три варианта их взаимного расположения. Рассмотрим их.

Вариант 1: Точка $P$ лежит между точками $A$ и $B$.

В этом случае, по свойству измерения отрезков, $PA + PB = AB$. По условию, $AB = 6$ см, а $PA + PB = 9$ см. Так как $6 \neq 9$, этот случай невозможен.

Вариант 2: Точка $A$ лежит между точками $P$ и $B$.

В этом случае, $PA + AB = PB$. Мы имеем систему уравнений:

$PA + PB = 9$

$PB = PA + 6$

Подставим второе уравнение в первое:

$PA + (PA + 6) = 9$

$2PA + 6 = 9$

$2PA = 3$

$PA = 1,5$ см

Тогда $PB = 1,5 + 6 = 7,5$ см. Проверим: $PA + PB = 1,5 + 7,5 = 9$ см, что соответствует условию.

Вариант 3: Точка $B$ лежит между точками $P$ и $A$.

В этом случае, $PB + AB = PA$. Мы имеем систему уравнений:

$PA + PB = 9$

$PA = PB + 6$

Подставим второе уравнение в первое:

$(PB + 6) + PB = 9$

$2PB + 6 = 9$

$2PB = 3$

$PB = 1,5$ см

Тогда $PA = 1,5 + 6 = 7,5$ см. Проверим: $PA + PB = 7,5 + 1,5 = 9$ см, что соответствует условию.

Таким образом, возможны два варианта, которые дают один и тот же набор длин для отрезков $PA$ и $PB$.

Ответ: $PA = 1,5$ см и $PB = 7,5$ см, или $PA = 7,5$ см и $PB = 1,5$ см.

2) Да, существуют.

Поскольку точки $A, B, C$ и $D$ отмечены на прямой последовательно, они расположены в указанном порядке. Это означает, что отрезок $AC$ состоит из отрезков $AB$ и $BC$, а отрезок $BD$ состоит из отрезков $BC$ и $CD$.

Запишем длины отрезков $AC$ и $BD$:

$AC = AB + BC$

$BD = BC + CD$

По условию задачи дано, что $AB = CD$. Заменим в выражении для длины отрезка $BD$ отрезок $CD$ на равный ему отрезок $AB$:

$BD = BC + AB$

Так как от перемены мест слагаемых сумма не меняется ($BC + AB = AB + BC$), мы получаем:

$AC = AB + BC$

$BD = AB + BC$

Отсюда следует, что $AC = BD$.

Ответ: да, существуют, это пара равных отрезков $AC$ и $BD$.