Номер 2.5, страница 13 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

2.5. На клетчатой бумаге изобразите луч $\text{CE}$ и отрезок $\text{AB}$, как показано на рисунке 2.7. От вершины $\text{C}$ луча $\text{CE}$ отложите отрезок $\text{CD}$, равный отрезку $\text{AB}$.

Рис. 2.7

Для решения задачи в каждом из трех случаев необходимо выполнить следующие шаги:

1. Определить длину отрезка AB. На клетчатой бумаге это удобно сделать с помощью теоремы Пифагора, рассматривая отрезок как гипотенузу прямоугольного треугольника, катеты которого параллельны линиям сетки.

2. Определить направление луча CE. Это направление задается вектором смещения от точки C к любой другой точке на луче, например, к точке E.

3. Найти на луче CE точку D, такую, что длина отрезка CD равна длине отрезка AB.

Ниже представлено решение для каждого случая.

а) 1. Определим длину отрезка AB. Чтобы переместиться из точки A в точку B, необходимо сдвинуться на 3 клетки вправо и на 1 клетку вверх. Длину отрезка AB найдем по теореме Пифагора:

$|AB| = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}$.

2. Определим направление луча CE. Чтобы переместиться из точки C в точку E, необходимо сдвинуться на 4 клетки вправо и на 2 клетки вверх. Таким образом, направление луча задается вектором $(4, 2)$, или, после сокращения, вектором $(2, 1)$.

3. Нам нужно найти точку D на луче CE, такую, что $|CD| = |AB| = \sqrt{10}$. Вектор $\vec{CD}$ должен быть коллинеарен направляющему вектору луча $(2, 1)$, то есть $\vec{CD} = k \cdot (2, 1) = (2k, k)$ для некоторого $k > 0$.

Найдем длину вектора $\vec{CD}$: $|\vec{CD}| = \sqrt{(2k)^2 + k^2} = \sqrt{4k^2 + k^2} = \sqrt{5k^2} = k\sqrt{5}$.

Приравняем длины: $k\sqrt{5} = \sqrt{10}$. Отсюда $k = \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{5}} = \sqrt{2}$.

Значит, чтобы найти точку D, нужно от точки C сместиться на $2\sqrt{2}$ клеток вправо и на $\sqrt{2}$ клеток вверх. Так как $\sqrt{2}$ — иррациональное число, точка D не попадет в узел сетки. Для точного построения используется циркуль: измеряется длина отрезка AB, и дуга этого радиуса проводится из центра в точке C до пересечения с лучом CE.

Ответ: Точка D расположена на луче CE на расстоянии $\sqrt{10}$ от точки C. Она не является узлом сетки. На рисунке отрезок CD выделен фиолетовым цветом.

б) 1. Определим длину отрезка AB. Смещение из A в B: 2 клетки вправо и 2 клетки вниз. Длина отрезка:

$|AB| = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8}$.

2. Определим направление луча CE. Смещение из C в E: 3 клетки вправо и 3 клетки вниз. Направление луча задается вектором $(3, 3)$, или, в упрощенном виде, $(1, 1)$.

3. Ищем точку D на луче CE, такую, что $|CD| = |AB| = \sqrt{8}$. Вектор $\vec{CD}$ имеет вид $k \cdot (1, 1) = (k, k)$ для $k > 0$.

Длина вектора $\vec{CD}$: $|\vec{CD}| = \sqrt{k^2 + k^2} = \sqrt{2k^2} = k\sqrt{2}$.

Приравниваем длины: $k\sqrt{2} = \sqrt{8}$. Отсюда $k = \frac{\sqrt{8}}{\sqrt{2}} = \sqrt{4} = 2$.

Значит, вектор $\vec{CD} = 2 \cdot (1, 1) = (2, 2)$. Чтобы найти точку D, нужно от точки C сместиться на 2 клетки вправо и на 2 клетки вниз. В этом случае точка D попадает точно в узел сетки.

Ответ: Чтобы построить отрезок CD, нужно от точки C отступить на 2 клетки вправо и 2 клетки вниз. Точка D является узлом сетки. На рисунке отрезок CD выделен фиолетовым цветом.

в) 1. Определим длину отрезка AB. Смещение из A в B: 2 клетки вправо и 1 клетка вверх. Длина отрезка:

$|AB| = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$.

2. Определим направление луча CE. Смещение из C в E: 4 клетки вправо и 2 клетки вниз. Направление луча задается вектором $(4, -2)$, или, в упрощенном виде, $(2, -1)$.

3. Ищем точку D на луче CE, такую, что $|CD| = |AB| = \sqrt{5}$. Вектор $\vec{CD}$ имеет вид $k \cdot (2, -1) = (2k, -k)$ для $k > 0$.

Длина вектора $\vec{CD}$: $|\vec{CD}| = \sqrt{(2k)^2 + (-k)^2} = \sqrt{4k^2 + k^2} = \sqrt{5k^2} = k\sqrt{5}$.

Приравниваем длины: $k\sqrt{5} = \sqrt{5}$. Отсюда $k = 1$.

Значит, вектор $\vec{CD} = 1 \cdot (2, -1) = (2, -1)$. Чтобы найти точку D, нужно от точки C сместиться на 2 клетки вправо и на 1 клетку вниз. Точка D также попадает в узел сетки.

Ответ: Чтобы построить отрезок CD, нужно от точки C отступить на 2 клетки вправо и 1 клетку вниз. Точка D является узлом сетки. На рисунке отрезок CD выделен фиолетовым цветом.