Номер 2.9, страница 13 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

2.9. На клетчатой бумаге изобразите отрезки, как показано на рисунке 2.9. Укажите точки, делящие отрезки $\text{AB}$, $\text{CD}$, $\text{EF}$ на три равные части.

Рис. 2.9

Для решения задачи введем систему координат. Пусть левый нижний угол сетки имеет координаты (0, 0), а каждая клетка представляет собой единичный квадрат. Тогда концы отрезков будут иметь следующие координаты: A(0, 3), B(3, 3), C(4, 4), D(4, 0), E(0, 1), F(3, 3).

Чтобы разделить отрезок с концами в точках $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$ на три равные части, нужно найти две точки $M_1$ и $M_2$, которые делят его в отношениях 1:2 и 2:1. Координаты этих точек вычисляются по формулам:

Для точки $M_1$ (деление в отношении 1:2): $x = \frac{2x_1 + x_2}{3}, y = \frac{2y_1 + y_2}{3}$

Для точки $M_2$ (деление в отношении 2:1): $x = \frac{x_1 + 2x_2}{3}, y = \frac{y_1 + 2y_2}{3}$

Отрезок AB

Координаты точек: A(0, 3) и B(3, 3). Длина отрезка составляет 3 клетки. Чтобы разделить его на три равные части, нужно отступить от точки A на 1 и 2 клетки вправо.

Первая точка $M_1$ будет иметь координаты (0+1, 3), то есть (1, 3).

Вторая точка $M_2$ будет иметь координаты (0+2, 3), то есть (2, 3).

Ответ: Точки, делящие отрезок AB на три равные части, имеют координаты (1, 3) и (2, 3).

Отрезок CD

Координаты точек: C(4, 4) и D(4, 0). Длина отрезка составляет 4 клетки.

Каждая из трех равных частей будет иметь длину $4/3$.

Найдем координаты первой точки $P_1$, отступив от точки C вниз на $4/3$. Координата y будет равна $4 - 4/3 = 12/3 - 4/3 = 8/3$. Координаты точки $P_1$: $(4, 8/3)$.

Найдем координаты второй точки $P_2$, отступив от точки $P_1$ вниз еще на $4/3$. Координата y будет равна $8/3 - 4/3 = 4/3$. Координаты точки $P_2$: $(4, 4/3)$.

Ответ: Точки, делящие отрезок CD на три равные части, имеют координаты $(4, 8/3)$ и $(4, 4/3)$.

Отрезок EF

Координаты точек: E(0, 1) и F(3, 3).

Чтобы переместиться из точки E в точку F, нужно сдвинуться на 3 единицы вправо и на 2 единицы вверх. Вектор $\vec{EF}$ имеет координаты (3, 2).

Чтобы найти первую точку $Q_1$, нужно к координатам точки E прибавить $1/3$ компонент вектора $\vec{EF}$:

$x_{Q1} = x_E + \frac{1}{3} \cdot 3 = 0 + 1 = 1$

$y_{Q1} = y_E + \frac{1}{3} \cdot 2 = 1 + 2/3 = 5/3$

Координаты точки $Q_1$: $(1, 5/3)$.

Чтобы найти вторую точку $Q_2$, нужно к координатам точки E прибавить $2/3$ компонент вектора $\vec{EF}$:

$x_{Q2} = x_E + \frac{2}{3} \cdot 3 = 0 + 2 = 2$

$y_{Q2} = y_E + \frac{2}{3} \cdot 2 = 1 + 4/3 = 7/3$

Координаты точки $Q_2$: $(2, 7/3)$.

Ответ: Точки, делящие отрезок EF на три равные части, имеют координаты $(1, 5/3)$ и $(2, 7/3)$.