Номер 2.14, страница 14 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

2.14. На прямой отмечены: а) 3 точки; б) 4 точки; в) 5 точек; г) *n точек. Сколько имеется отрезков с концами в этих точках?

Для решения задачи необходимо найти количество способов выбрать 2 точки из заданного множества точек, поскольку любой отрезок однозначно определяется двумя своими концами. Порядок выбора точек не имеет значения (отрезок AB и отрезок BA — это один и тот же отрезок), поэтому мы будем использовать формулу для числа сочетаний из $n$ элементов по $k$.

Общая формула для числа сочетаний: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

В нашем случае мы выбираем 2 точки для построения отрезка, поэтому $k=2$. Формула принимает вид:

$C_n^2 = \frac{n!}{2!(n-2)!} = \frac{n \cdot (n-1) \cdot (n-2)!}{2 \cdot 1 \cdot (n-2)!} = \frac{n(n-1)}{2}$.

Теперь применим эту формулу к каждому из подпунктов.

а) На прямой отмечены 3 точки.

Подставляем $n=3$ в формулу:

$C_3^2 = \frac{3 \cdot (3-1)}{2} = \frac{3 \cdot 2}{2} = 3$.

Ответ: 3.

б) На прямой отмечены 4 точки.

Подставляем $n=4$ в формулу:

$C_4^2 = \frac{4 \cdot (4-1)}{2} = \frac{4 \cdot 3}{2} = 6$.

Ответ: 6.

в) На прямой отмечены 5 точек.

Подставляем $n=5$ в формулу:

$C_5^2 = \frac{5 \cdot (5-1)}{2} = \frac{5 \cdot 4}{2} = 10$.

Ответ: 10.

г) На прямой отмечены $n$ точек.

В общем случае для $n$ точек количество отрезков с концами в этих точках вычисляется по общей формуле для числа сочетаний из $n$ по 2, которую мы вывели в начале.

Количество отрезков равно $\frac{n(n-1)}{2}$.

Ответ: $\frac{n(n-1)}{2}$.