Номер 5.15, страница 30 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

5.15. На клетчатой бумаге через точку $\text{C}$ проведите прямую, перпендикулярную прямой $\text{AB}$ (рис. 5.20).

Рис. 5.20

а) Чтобы построить прямую, перпендикулярную прямой $AB$ и проходящую через точку $C$, воспользуемся свойством угловых коэффициентов перпендикулярных прямых на координатной плоскости.

1. Определим "тангенс" или "наклон" прямой $AB$. Для этого посмотрим, на сколько клеток смещается прямая по горизонтали и по вертикали. Чтобы переместиться из точки $A$ в точку $B$, нужно сместиться на 4 клетки вправо и на 3 клетки вверх. Вектор, задающий направление прямой $AB$, можно представить как $(4, 3)$.

2. Для построения перпендикулярной прямой нам нужен вектор, перпендикулярный вектору $(4, 3)$. Таким вектором будет, например, вектор $(3, -4)$ или $(-3, 4)$, так как их скалярное произведение с исходным вектором равно нулю: $4 \cdot 3 + 3 \cdot (-4) = 0$.

3. Вектор $(3, -4)$ соответствует смещению на 3 клетки вправо и 4 клетки вниз. Вектор $(-3, 4)$ — на 3 клетки влево и 4 клетки вверх. Чтобы построить искомую прямую, нужно из точки $C$ отложить такой вектор. Например, отступим от точки $C$ на 3 клетки вправо и 4 клетки вниз, поставим новую точку. Прямая, проходящая через точку $C$ и эту новую точку, будет перпендикулярна прямой $AB$.

Другой способ — через угловые коэффициенты. Угловой коэффициент прямой $AB$ равен $k_{AB} = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{3}{4}$. Угловой коэффициент перпендикулярной прямой $k_{\perp}$ находится из условия $k_{AB} \cdot k_{\perp} = -1$. Отсюда $k_{\perp} = -\frac{1}{k_{AB}} = -\frac{4}{3}$. Это означает, что на каждые 3 единицы смещения по горизонтали (вправо) приходится 4 единицы смещения по вертикали в противоположном направлении (вниз).

Ответ:

б) Решение аналогично предыдущему пункту.

1. Определим "наклон" прямой $AB$. Чтобы переместиться из точки $A$ в точку $B$, нужно сместиться на 5 клеток вправо и на 2 клетки вверх. Направляющий вектор прямой $AB$ — $(5, 2)$.

2. Перпендикулярный вектор к вектору $(5, 2)$ — это, например, вектор $(2, -5)$ или $(-2, 5)$.

3. Вектор $(2, -5)$ соответствует смещению на 2 клетки вправо и 5 клеток вниз. Чтобы построить искомую прямую, отступим от точки $C$ на 2 клетки вправо и 5 клеток вниз и поставим новую точку. Прямая, проходящая через точку $C$ и эту новую точку, будет перпендикулярна прямой $AB$.

Используя угловые коэффициенты: $k_{AB} = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{2}{5}$. Для перпендикулярной прямой $k_{\perp} = -\frac{1}{k_{AB}} = -\frac{5}{2}$. Это означает, что на каждые 2 единицы смещения по горизонтали (вправо) приходится 5 единиц смещения по вертикали в противоположном направлении (вниз).

Ответ: