Номер 5.11, страница 28 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

5.11. На клетчатой бумаге изобразите угол, равный сумме углов $ \angle AOB $ и $ \angle PQR $ (рис. 5.16).

Рис. 5.16

а) Для решения задачи определим величины углов $AOB$ и $PQR$, используя узлы сетки. Пусть длина стороны одной клетки равна единице.

Рассмотрим угол $AOB$. Поместим его вершину $O$ в начало координат $(0, 0)$. Сторона $OA$ лежит на горизонтальной оси, а точка $B$ смещена от точки $O$ на 2 клетки вправо и 2 клетки вверх, то есть ее координаты $(2, 2)$. Тангенс угла $AOB$, который образован лучом $OB$ и положительным направлением оси $Ox$, равен отношению противолежащего катета к прилежащему:

$\tan(\angle AOB) = \frac{2}{2} = 1$

Отсюда следует, что $\angle AOB = 45^\circ$.

Рассмотрим угол $PQR$. Поместим его вершину $Q$ в начало координат $(0, 0)$. Сторона $QR$ является вертикальным отрезком, значит, луч $QR$ лежит на оси $Oy$ (точка $R$ имеет координаты $(0, 2)$). Точка $P$ смещена от $Q$ на 2 клетки вправо и 2 клетки вверх, ее координаты $(2, 2)$. Угол $PQR$ – это угол между лучом $QP$ и лучом $QR$. Луч $QP$ проходит через точку $(2, 2)$ и образует с горизонтальной осью угол $45^\circ$. Луч $QR$ совпадает с вертикальной осью, которая образует с горизонтальной осью угол $90^\circ$. Таким образом, угол между ними равен:

$\angle PQR = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$

Сумма углов равна:

$\angle AOB + \angle PQR = 45^\circ + 45^\circ = 90^\circ$

Следовательно, нам нужно изобразить на клетчатой бумаге прямой угол.

Ответ: Чтобы изобразить угол, равный сумме углов $AOB$ и $PQR$, нужно построить прямой угол. Для этого необходимо выбрать точку на пересечении линий сетки и провести из нее два луча: один вдоль горизонтальной линии сетки, а другой — вдоль вертикальной.

б) Определим тангенсы углов $AOB$ и $PQR$, используя метод координат. Пусть вершина каждого угла находится в начале координат $(0, 0)$.

Для угла $AOB$: вершина $O$ в $(0, 0)$. Судя по рисунку, луч $OA$ проходит через точку $(1, -1)$, а луч $OB$ — через точку $(1, 2)$. Найдем тангенсы углов, которые эти лучи образуют с положительным направлением оси $Ox$. Пусть $\alpha_1$ — угол для луча $OB$, а $\alpha_2$ — для луча $OA$.

$\tan(\alpha_1) = \frac{2}{1} = 2$

$\tan(\alpha_2) = \frac{-1}{1} = -1$

Величина угла $AOB$ соответствует углу между лучами, $\angle AOB = \alpha_1 - \alpha_2$. Используем формулу тангенса разности:

$\tan(\angle AOB) = \tan(\alpha_1 - \alpha_2) = \frac{\tan(\alpha_1) - \tan(\alpha_2)}{1 + \tan(\alpha_1)\tan(\alpha_2)} = \frac{2 - (-1)}{1 + 2 \cdot (-1)} = \frac{3}{1 - 2} = -3$

Для угла $PQR$: вершина $Q$ в $(0, 0)$. Луч $QR$ проходит через точку $(1, 1)$, а луч $QP$ — через точку $(2, 1)$. Пусть $\beta_1$ — угол для луча $QR$, а $\beta_2$ — для луча $QP$.

$\tan(\beta_1) = \frac{1}{1} = 1$

$\tan(\beta_2) = \frac{1}{2}$

Величина угла $PQR$ соответствует углу между лучами, $\angle PQR = \beta_1 - \beta_2$. Используем формулу тангенса разности:

$\tan(\angle PQR) = \tan(\beta_1 - \beta_2) = \frac{\tan(\beta_1) - \tan(\beta_2)}{1 + \tan(\beta_1)\tan(\beta_2)} = \frac{1 - \frac{1}{2}}{1 + 1 \cdot \frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{2}} = \frac{1}{3}$

Теперь найдем тангенс суммы углов $\Phi = \angle AOB + \angle PQR$. Используем формулу тангенса суммы:

$\tan(\Phi) = \frac{\tan(\angle AOB) + \tan(\angle PQR)}{1 - \tan(\angle AOB)\tan(\angle PQR)} = \frac{-3 + \frac{1}{3}}{1 - (-3) \cdot \frac{1}{3}} = \frac{-\frac{8}{3}}{1 - (-1)} = \frac{-\frac{8}{3}}{2} = -\frac{4}{3}$

Нам нужно построить угол $\Phi$, тангенс которого равен $-\frac{4}{3}$. Отрицательное значение тангенса означает, что искомый угол — тупой. Для его построения можно использовать тот факт, что тангенс смежного с ним угла ($180^\circ - \Phi$) будет равен $\frac{4}{3}$. Построение искомого угла: 1. Выберем на клетчатой бумаге точку $M$ — вершину будущего угла. 2. Проведем из нее горизонтальный луч $MA$ вправо. 3. Чтобы построить второй луч $MB$, отступим от точки $M$ на 3 клетки влево и на 4 клетки вверх и отметим точку $B$. 4. Проведем луч $MB$. Тупой угол $AMB$ и будет искомым углом.

Ответ: Чтобы изобразить искомый угол, нужно выбрать на сетке вершину $M$, провести из нее один луч горизонтально (например, вправо). Затем, чтобы построить второй луч, нужно от вершины $M$ отступить на 3 клетки влево и на 4 клетки вверх, отметить точку $B$ и провести второй луч $MB$. Полученный тупой угол и будет являться суммой данных углов.