Номер 5.13, страница 29 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

5.13. На клетчатой бумаге изобразите угол, равный разности углов $AOB$ и $PQR$ (рис. 5.18).

Рис. 5.18

а) Для нахождения разности углов $AOB$ и $PQR$ сначала определим величину каждого угла, используя их положение на клетчатой бумаге. Удобно использовать тангенсы углов, которые можно найти через координаты точек относительно вершины угла.

1. Анализ угла $AOB$

Примем вершину угла $O$ за начало координат $(0, 0)$.

Луч $OA$ проходит через узел сетки, который находится на 2 клетки правее и 1 клетку ниже $O$. Координаты точки на луче: $(2, -1)$.

Луч $OB$ проходит через узел, который находится на 2 клетки правее и 2 клетки выше $O$. Координаты точки на луче: $(2, 2)$.

Найдем тангенс угла $AOB$. Для этого можно использовать формулу тангенса разности для углов, которые лучи образуют с осью абсцисс. Проще, однако, найти тангенс каждого из двух смежных углов, на которые ось абсцисс делит $\angle AOB$. Угол, который луч $OB$ образует с положительным направлением оси Ox, равен $\alpha_1 = \arctan(2/2) = \arctan(1) = 45^\circ$. Угол, который луч $OA$ образует с положительным направлением оси Ox, равен $\alpha_2 = \arctan(-1/2)$. $\angle AOB = \alpha_1 - \alpha_2 = 45^\circ - \arctan(-1/2) = 45^\circ + \arctan(1/2)$.

Воспользуемся формулой для тангенса суммы: $\tan(\angle AOB) = \tan(45^\circ + \arctan(1/2)) = \frac{\tan(45^\circ) + \tan(\arctan(1/2))}{1 - \tan(45^\circ)\tan(\arctan(1/2))} = \frac{1 + 1/2}{1 - 1 \cdot 1/2} = \frac{3/2}{1/2} = 3$.

2. Анализ угла $PQR$

Примем вершину угла $Q$ за начало координат $(0, 0)$.

Луч $QP$ проходит через узел на 2 клетки правее и 1 клетку выше $Q$. Координаты точки: $(2, 1)$.

Луч $QR$ проходит через узел на 1 клетку правее и 2 клетки выше $Q$. Координаты точки: $(1, 2)$.

$\angle PQR$ равен разности углов, которые лучи $QR$ и $QP$ образуют с осью абсцисс. $\tan(\angle PQR) = \tan(\arctan(2/1) - \arctan(1/2)) = \frac{2 - 1/2}{1 + 2 \cdot (1/2)} = \frac{3/2}{2} = \frac{3}{4}$.

3. Нахождение разности углов

Нам нужно найти угол $\Delta = \angle AOB - \angle PQR$. Так как $\tan(\angle AOB) = 3$ и $\tan(\angle PQR) = 3/4$, а оба угла острые, то $\angle AOB > \angle PQR$. Используем формулу для тангенса разности: $\tan(\Delta) = \tan(\angle AOB - \angle PQR) = \frac{\tan(\angle AOB) - \tan(\angle PQR)}{1 + \tan(\angle AOB)\tan(\angle PQR)} = \frac{3 - 3/4}{1 + 3 \cdot 3/4} = \frac{9/4}{1 + 9/4} = \frac{9/4}{13/4} = \frac{9}{13}$.

4. Построение искомого угла

Чтобы изобразить угол, тангенс которого равен $9/13$, нужно на клетчатой бумаге построить прямоугольный треугольник, катеты которого равны 9 и 13 клеткам. Угол, лежащий против катета длиной 9 клеток, будет искомым.

Ответ: Искомый угол — это угол $\Delta$, для которого $\tan(\Delta) = 9/13$. Для его изображения нужно выбрать узел сетки в качестве вершины, отложить от него луч вдоль линии сетки (например, вправо на 13 клеток), а второй луч направить в точку, смещенную от вершины на 13 клеток вправо и 9 клеток вверх.

б) Аналогично пункту а), определим величины углов $AOB$ и $PQR$.

1. Анализ угла $AOB$

Примем вершину $O$ за начало координат $(0, 0)$.

Луч $OA$ проходит через точку $(2, -1)$. Наклон (угловой коэффициент) луча $m_{OA} = -1/2$.

Луч $OB$ проходит через точку $(1, 2)$. Наклон луча $m_{OB} = 2/1 = 2$.

Проверим произведение наклонов: $m_{OA} \cdot m_{OB} = (-1/2) \cdot 2 = -1$. Поскольку произведение наклонов равно -1, лучи $OA$ и $OB$ перпендикулярны. Следовательно, $\angle AOB = 90^\circ$.

2. Анализ угла $PQR$

Примем вершину $Q$ за начало координат $(0, 0)$.

Луч $QR$ направлен вертикально вверх и проходит через точку $(0, 2)$.

Луч $QP$ проходит через точку $(2, -1)$.

Угол $\angle PQR$ — это угол между лучом, направленным по положительной оси $y$, и лучом, идущим в точку $(2, -1)$. Угол луча $QR$ с положительным направлением оси $x$ равен $90^\circ$. Угол луча $QP$ с положительным направлением оси $x$ равен $\alpha_{QP} = \arctan(-1/2)$. Величина угла $\angle PQR$ (внутреннего, не превышающего $180^\circ$) равна $\theta_{QR} - \theta_{QP} = 90^\circ - \arctan(-1/2) = 90^\circ + \arctan(1/2)$.

3. Нахождение разности углов

Из рисунка видно, что $\angle PQR$ — тупой, а $\angle AOB$ — прямой, значит $\angle PQR > \angle AOB$. Разность углов — это положительная величина, поэтому найдем $\angle PQR - \angle AOB$. $\Delta = \angle PQR - \angle AOB = (90^\circ + \arctan(1/2)) - 90^\circ = \arctan(1/2)$. Тангенс искомого угла равен $1/2$.

4. Построение искомого угла

Чтобы изобразить угол с тангенсом $1/2$, нужно на клетчатой бумаге построить прямоугольный треугольник с катетами 1 и 2 клетки. Угол, лежащий против катета длиной 1 клетка, будет искомым.

Ответ: Искомый угол — это угол $\Delta$, для которого $\tan(\Delta) = 1/2$. Для его изображения нужно выбрать узел сетки в качестве вершины, отложить от него луч вдоль линии сетки (например, вправо на 2 клетки), а второй луч направить в точку, смещенную от вершины на 2 клетки вправо и 1 клетку вверх.