Номер 5.8, страница 28 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

5.8. Сколько: а) острых; б) прямых; в) тупых углов образуется лучами, изображенными на рисунке 5.14?

Рис. 5.14

На рисунке изображены четыре луча (OA, OB, OC и OD), выходящие из общей вершины O. Любая пара этих лучей образует угол. Чтобы найти общее количество углов, нужно вычислить количество сочетаний из 4 элементов по 2:

$C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1} = 6$

Таким образом, на рисунке всего 6 углов: ∠AOB, ∠AOC, ∠AOD, ∠BOC, ∠BOD, ∠COD. Теперь проанализируем и классифицируем каждый из этих углов.

а) острых

Острым называется угол, градусная мера которого меньше 90°. Судя по рисунку, угол ∠AOC является прямым (90°), так как луч OA расположен горизонтально, а луч OC — вертикально. Углы, которые являются частью прямого угла, или которые очевидно меньше его, будут острыми.

1. Угол ∠AOB: он является частью прямого угла ∠AOC, следовательно, $\angle{AOB} < 90°$. Это острый угол.

2. Угол ∠BOC: он также является частью прямого угла ∠AOC (а именно $\angle{AOC} = \angle{AOB} + \angle{BOC}$), следовательно, $\angle{BOC} < 90°$. Это острый угол.

3. Угол ∠COD: по виду он меньше прямого угла ∠AOC, следовательно, он также является острым.

Всего найдено 3 острых угла.

Ответ: 3.

б) прямых

Прямым называется угол, градусная мера которого равна 90°. Как уже было отмечено, лучи OA и OC выглядят перпендикулярными друг другу.

1. Угол ∠AOC: его стороны (лучи OA и OC) перпендикулярны, значит, $\angle{AOC} = 90°$. Это прямой угол.

Других углов, равных 90°, на рисунке нет. Всего найден 1 прямой угол.

Ответ: 1.

в) тупых

Тупым называется угол, градусная мера которого больше 90°, но меньше 180°. Рассмотрим оставшиеся углы.

1. Угол ∠AOD: он состоит из прямого угла ∠AOC и острого угла ∠COD. Его величина равна $\angle{AOD} = \angle{AOC} + \angle{COD} = 90° + \angle{COD}$. Так как $\angle{COD} > 0$, то $\angle{AOD} > 90°$. Это тупой угол.

2. Угол ∠BOD: он состоит из двух острых углов ∠BOC и ∠COD. Его величина равна $\angle{BOD} = \angle{BOC} + \angle{COD}$. Также можно заметить, что угол ∠BOD визуально больше прямого угла ∠AOC. Его можно выразить через другие углы: $\angle{BOD} = \angle{AOD} - \angle{AOB}$. Так как ∠AOD тупой, а ∠AOB острый, их разность, судя по рисунку, больше 90°. Следовательно, это тупой угол.

Всего найдено 2 тупых угла.

Ответ: 2.