Номер 5.3, страница 27 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

5.3. Расположите углы, изображенные на рисунке 5.12, в порядке их возрастания.

Рис. 5.12

Чтобы расположить углы, изображенные на рисунке, в порядке их возрастания, необходимо сравнить их градусные меры. Воспользуемся тем, что углы нарисованы на клетчатой бумаге. Это позволяет нам классифицировать углы и точно сравнить их между собой, используя их тригонометрические характеристики или геометрические соображения.

Сначала разделим все углы на три группы по их типу: острые (меньше $90^\circ$), прямые (равны $90^\circ$) и тупые (больше $90^\circ$). К острым углам относятся углы 3, 5 и 6. Угол 1 является прямым. Углы 2 и 4 являются тупыми. Порядок возрастания будет следующим: сначала острые углы, затем прямой, затем тупые.

Теперь сравним углы внутри каждой группы. Начнем с острых углов: 3, 5, 6. Для их сравнения можно использовать тангенс угла. В диапазоне от $0^\circ$ до $90^\circ$ большему углу соответствует больший тангенс. Тангенс угла можно найти как отношение противолежащего катета к прилежащему в прямоугольном треугольнике, который легко построить по линиям сетки.

Для угла 3 достроим прямоугольный треугольник с катетами, равными 1 и 2 клеткам. Тангенс этого угла равен $ \tan(\angle 3) = \frac{1}{2} = 0.5 $.

Для угла 5 достроим прямоугольный треугольник с катетами 2 и 3 клетки. Тангенс этого угла равен $ \tan(\angle 5) = \frac{2}{3} \approx 0.667 $.

Для угла 6 достроим прямоугольный треугольник с катетами 2 и 2 клетки. Тангенс этого угла равен $ \tan(\angle 6) = \frac{2}{2} = 1 $. Угол, тангенс которого равен 1, это $45^\circ$.

Сравнивая значения тангенсов ($0.5 < \frac{2}{3} < 1$), мы можем сделать вывод о соотношении углов: $ \angle 3 < \angle 5 < \angle 6 $.

Далее рассмотрим прямой угол. Угол 1 образован пересечением горизонтальной и вертикальной линий сетки, поэтому его величина составляет ровно $ \angle 1 = 90^\circ $.

Теперь сравним тупые углы: 2 и 4. Чтобы сравнить тупые углы, удобно сравнить их смежные углы, которые дополняют их до $180^\circ$. Чем меньше смежный острый угол, тем больше сам тупой угол.

Для угла 2 смежный с ним острый угол, назовем его $\alpha_2$, имеет тангенс, равный $ \frac{1}{2} $. Таким образом, смежный угол $\alpha_2$ равен углу 3. Сам угол 2 равен $ \angle 2 = 180^\circ - \alpha_2 = 180^\circ - \angle 3 $.

Для угла 4 смежный с ним острый угол, $\alpha_4$, имеет тангенс, равный $ \frac{1}{1} = 1 $. Таким образом, смежный угол $\alpha_4$ равен углу 6. Сам угол 4 равен $ \angle 4 = 180^\circ - \alpha_4 = 180^\circ - \angle 6 $.

Поскольку мы ранее установили, что $ \angle 3 < \angle 6 $, то и для смежных углов верно, что $ \alpha_2 < \alpha_4 $. Из этого следует, что $ 180^\circ - \alpha_2 > 180^\circ - \alpha_4 $, а значит $ \angle 2 > \angle 4 $.

Теперь, зная порядок углов внутри каждой группы, мы можем составить общую последовательность. Собираем все вместе: острые углы ($ \angle 3 < \angle 5 < \angle 6 $), затем прямой угол ($ \angle 1 $), и, наконец, тупые углы ($ \angle 4 < \angle 2 $).

Общая последовательность: $ \angle 3 < \angle 5 < \angle 6 < \angle 1 < \angle 4 < \angle 2 $.

Таким образом, углы в порядке их возрастания следует расположить так: 3, 5, 6, 1, 4, 2.

Ответ: 3, 5, 6, 1, 4, 2.