Номер 4.20, страница 23 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

4.20. На сколько частей разбивают плоскость $\text{n}$ попарно пересекающихся прямых, три из которых не пересекаются в одной точке?

Обозначим через $L(n)$ искомое количество частей, на которые $n$ прямых разбивают плоскость. Условия задачи означают, что прямые находятся в общем положении: никакие две прямые не параллельны и никакие три не пересекаются в одной точке.

Рассмотрим, как меняется количество частей при добавлении новой прямой.

При $n = 0$ (нет прямых) плоскость представляет собой одну часть. $L(0) = 1$.

При $n = 1$ одна прямая делит плоскость на 2 части. $L(1) = 2$.

При $n = 2$ две пересекающиеся прямые делят плоскость на 4 части. $L(2) = 4$.

При $n = 3$ три прямые, попарно пересекаясь в трех разных точках, делят плоскость на 7 частей. $L(3) = 7$.

Найдем рекуррентную формулу. Предположим, что на плоскости уже проведено $n-1$ прямых, которые делят ее на $L(n-1)$ частей. Проведем $n$-ю прямую. Согласно условию, она не параллельна ни одной из предыдущих прямых, поэтому она пересечет каждую из них. Также по условию, никакие три прямые не пересекаются в одной точке, значит, $n$-я прямая пересечет $n-1$ предыдущих прямых в $n-1$ различной точке.

Эти $n-1$ точек пересечения разделят новую, $n$-ю, прямую на $n$ участков (два луча и $n-2$ отрезка). Каждый из этих $n$ участков прямой, проходя через одну из уже существующих областей, делит ее на две. Таким образом, проведение $n$-й прямой добавляет ровно $n$ новых частей к уже имеющимся.

Мы получили рекуррентное соотношение: $L(n) = L(n-1) + n$.

Зная, что $L(0) = 1$, мы можем "развернуть" эту формулу:

$L(n) = L(n-1) + n = (L(n-2) + n-1) + n = \dots = L(0) + 1 + 2 + \dots + n$.

Подставляя $L(0)=1$, получаем: $L(n) = 1 + (1 + 2 + \dots + n)$.

Сумма первых $n$ натуральных чисел вычисляется по формуле арифметической прогрессии: $S_n = \frac{n(n+1)}{2}$.

Следовательно, $L(n) = 1 + \frac{n(n+1)}{2}$.

Приводя к общему знаменателю, получаем окончательную формулу:

$L(n) = \frac{2}{2} + \frac{n^2+n}{2} = \frac{n^2+n+2}{2}$.

Ответ: $ \frac{n^2+n+2}{2} $.