Номер 4.17, страница 23 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

4.17. На сколько частей разбивают плоскость $\text{n}$ прямых, пересекающихся в одной точке?

Для решения этой задачи рассмотрим, как изменяется количество частей плоскости с добавлением каждой новой прямой. Обозначим количество частей за $L(n)$, где $n$ — количество прямых.

1. Если провести одну прямую ($n=1$), плоскость будет разделена на 2 части. Таким образом, $L(1)=2$.

2. Если провести вторую прямую ($n=2$), пересекающую первую, она разделит две уже существующие части на две новые каждая. Однако, поскольку прямые пересекаются только в одной точке, вторая прямая пройдет через две области, созданные первой прямой. Каждую из этих двух областей она разделит надвое. Общее количество частей станет $2+2=4$. Таким образом, $L(2)=4$.

3. Если провести третью прямую ($n=3$) через ту же точку пересечения, она пройдет через две из четырех существующих областей (те, что являются вертикальными углами) и разделит каждую из них на две. Это добавит еще 2 части к общему количеству. Итого будет $4+2=6$ частей. Таким образом, $L(3)=6$.

Можно заметить закономерность. Каждая новая прямая, которую мы добавляем (начиная со второй), проходит через общую точку пересечения и состоит из двух лучей, исходящих из этой точки. Каждый из этих двух лучей пересекает одну из существующих областей и делит её на две. Следовательно, каждая новая прямая увеличивает общее количество частей на 2.

Таким образом, мы имеем дело с арифметической прогрессией, где первый член $L(1)=2$, а разность равна 2. Количество частей для $n$ прямых можно выразить формулой:

$L(n) = 2 \times n$

Проверим:

Для $n=1$: $L(1) = 2 \times 1 = 2$.

Для $n=2$: $L(2) = 2 \times 2 = 4$.

Для $n=3$: $L(3) = 2 \times 3 = 6$.

Формула верна.

Ответ: $2n$.