Номер 4.12, страница 23 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

4.12. Изобразите три попарно пересекающиеся прямые, не пересекающиеся в одной точке. На сколько частей они разбивают плоскость?

Для того чтобы изобразить три попарно пересекающиеся прямые, которые не пересекаются в одной точке, необходимо, чтобы любые две прямые имели одну общую точку, но при этом не существовало точки, принадлежащей всем трем прямым одновременно. Такое расположение прямых образует на плоскости треугольник, где стороны треугольника лежат на этих прямых, а вершины являются точками их попарного пересечения.

Подсчитаем количество частей, на которые эти три прямые разбивают плоскость, последовательно добавляя прямые:

1. Одна прямая делит плоскость на 2 части.

2. Вторая прямая, пересекая первую, проходит через обе уже существующие части и делит каждую из них на две. Таким образом, она добавляет 2 новые части. Общее число частей становится $2 + 2 = 4$.

3. Третья прямая, согласно условию, пересекает первые две в двух различных точках. Пересекая плоскость, она проходит через 3 из 4 существующих областей. Каждую из этих трех областей она делит надвое, создавая таким образом 3 новые части. Общее число частей становится $4 + 3 = 7$.

В результате мы получаем 7 частей: одну ограниченную область (внутренность треугольника) и шесть неограниченных областей.

Этот результат также можно получить с помощью общей формулы для максимального числа областей $L_n$, на которые $n$ прямых в общем положении (никакие две не параллельны, никакие три не пересекаются в одной точке) делят плоскость: $L_n = \frac{n(n+1)}{2} + 1$ Подставляя $n=3$, получаем: $L_3 = \frac{3(3+1)}{2} + 1 = \frac{3 \cdot 4}{2} + 1 = 6 + 1 = 7$.

Ответ: 7