Номер 4.8, страница 22 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

4.8. Сколько углов с вершиной в точке O изображено на рисунке 4.8?

Рис. 4.8

Для того чтобы найти количество углов с вершиной в точке O, необходимо посчитать, сколько различных пар лучей можно составить из всех лучей, выходящих из этой точки. Угол — это геометрическая фигура, образованная двумя лучами с общим началом.

На рисунке из точки O выходят четыре луча: OP, OM, OQ и ON.

Подсчитаем количество углов путем перечисления всех возможных пар лучей:

1. Угол, образованный лучами OP и OM: ∠POM.

2. Угол, образованный лучами OP и OQ: ∠POQ.

3. Угол, образованный лучами OP и ON: ∠PON.

4. Угол, образованный лучами OM и OQ: ∠MOQ.

5. Угол, образованный лучами OM и ON: ∠MON.

6. Угол, образованный лучами OQ и ON: ∠QON.

Таким образом, всего можно составить 6 пар лучей, что соответствует 6 углам.

Этот же результат можно получить, используя формулу из комбинаторики для нахождения числа сочетаний. Нам нужно выбрать 2 луча из 4 имеющихся, причем порядок выбора не имеет значения. Формула для числа сочетаний из $n$ элементов по $k$ выглядит так:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В нашем случае $n=4$ (общее количество лучей), а $k=2$ (количество лучей в одном угле). Подставим значения в формулу:

$C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2! \cdot 2!} = \frac{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{(2 \cdot 1) \cdot (2 \cdot 1)} = \frac{24}{4} = 6$

Оба способа подсчета дают одинаковый результат.

Ответ: 6