Номер 4.2, страница 22 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

4.2. Даны прямая $\text{a}$ и четыре точки $A, B, C, D$, не принадлежащие этой прямой. Пересекает ли эту прямую отрезок $\text{AD}$, если:

а) отрезки $AB, BC$ и $\text{CD}$ пересекают прямую $\text{a}$;

б) отрезки $\text{AC}$ и $\text{BC}$ пересекают прямую $\text{a}$, отрезок $\text{BD}$ не пересекает;

в) отрезки $\text{AB}$ и $\text{CD}$ пересекают прямую $\text{a}$, отрезок $\text{BC}$ не пересекает;

г) отрезки $\text{AB}$ и $\text{CD}$ не пересекают прямую $\text{a}$, отрезок $\text{BC}$ пересекает;

д) отрезки $AB, BC$ и $\text{CD}$ не пересекают прямую $\text{a}$;

е) отрезки $AC, BC$ и $\text{BD}$ пересекают прямую? Изобразите данные ситуации.

Основной принцип для решения этой задачи заключается в следующем: отрезок пересекает прямую тогда и только тогда, когда его концы находятся в разных полуплоскостях, на которые эта прямая делит всю плоскость. Если концы отрезка находятся в одной полуплоскости, то отрезок не пересекает прямую. Будем обозначать эти две полуплоскости как $\Pi_1$ и $\Pi_2$. Нам нужно определить, находятся ли точки $A$ и $D$ в одной или в разных полуплоскостях в каждом из случаев.

а) Пусть точка $A$ находится в полуплоскости $\Pi_1$.

1. Отрезок $AB$ пересекает прямую $a$, значит, точка $B$ находится в другой полуплоскости, т.е. в $\Pi_2$.

2. Отрезок $BC$ пересекает прямую $a$, а $B \in \Pi_2$, значит, $C \in \Pi_1$.

3. Отрезок $CD$ пересекает прямую $a$, а $C \in \Pi_1$, значит, $D \in \Pi_2$.

В результате точка $A$ находится в $\Pi_1$, а точка $D$ — в $\Pi_2$. Так как они находятся в разных полуплоскостях, отрезок $AD$ пересекает прямую $a$.

Для изображения ситуации, точки $A$ и $C$ нужно расположить по одну сторону от прямой $a$, а точки $B$ и $D$ — по другую.

Ответ: да, пересекает.

б) Пусть точка $A$ находится в полуплоскости $\Pi_1$.

1. Отрезок $AC$ пересекает прямую $a$, значит, точка $C$ находится в $\Pi_2$.

2. Отрезок $BC$ пересекает прямую $a$, а $C \in \Pi_2$, значит, $B \in \Pi_1$.

3. Отрезок $BD$ не пересекает прямую $a$, а $B \in \Pi_1$, значит, точка $D$ находится в той же полуплоскости, т.е. в $\Pi_1$.

В результате точки $A$ и $D$ обе находятся в $\Pi_1$. Так как они находятся в одной полуплоскости, отрезок $AD$ не пересекает прямую $a$.

Для изображения ситуации, точки $A$, $B$ и $D$ нужно расположить по одну сторону от прямой $a$, а точку $C$ — по другую.

Ответ: нет, не пересекает.

в) Пусть точка $A$ находится в полуплоскости $\Pi_1$.

1. Отрезок $AB$ пересекает прямую $a$, значит, точка $B$ находится в $\Pi_2$.

2. Отрезок $BC$ не пересекает прямую $a$, а $B \in \Pi_2$, значит, точка $C$ находится в той же полуплоскости, т.е. в $\Pi_2$.

3. Отрезок $CD$ пересекает прямую $a$, а $C \in \Pi_2$, значит, $D \in \Pi_1$.

В результате точки $A$ и $D$ обе находятся в $\Pi_1$. Так как они находятся в одной полуплоскости, отрезок $AD$ не пересекает прямую $a$.

Для изображения ситуации, точки $A$ и $D$ нужно расположить по одну сторону от прямой $a$, а точки $B$ и $C$ — по другую.

Ответ: нет, не пересекает.

г) Пусть точка $A$ находится в полуплоскости $\Pi_1$.

1. Отрезок $AB$ не пересекает прямую $a$, значит, точка $B$ находится в той же полуплоскости, т.е. в $\Pi_1$.

2. Отрезок $BC$ пересекает прямую $a$, а $B \in \Pi_1$, значит, $C \in \Pi_2$.

3. Отрезок $CD$ не пересекает прямую $a$, а $C \in \Pi_2$, значит, точка $D$ находится в той же полуплоскости, т.е. в $\Pi_2$.

В результате точка $A$ находится в $\Pi_1$, а точка $D$ — в $\Pi_2$. Так как они находятся в разных полуплоскостях, отрезок $AD$ пересекает прямую $a$.

Для изображения ситуации, точки $A$ и $B$ нужно расположить по одну сторону от прямой $a$, а точки $C$ и $D$ — по другую.

Ответ: да, пересекает.

д) Пусть точка $A$ находится в полуплоскости $\Pi_1$.

1. Отрезок $AB$ не пересекает прямую $a$, значит, $B \in \Pi_1$.

2. Отрезок $BC$ не пересекает прямую $a$, а $B \in \Pi_1$, значит, $C \in \Pi_1$.

3. Отрезок $CD$ не пересекает прямую $a$, а $C \in \Pi_1$, значит, $D \in \Pi_1$.

В результате все четыре точки $A, B, C, D$ находятся в одной полуплоскости $\Pi_1$. Следовательно, отрезок $AD$ не пересекает прямую $a$.

Для изображения ситуации, все точки $A, B, C, D$ нужно расположить по одну сторону от прямой $a$.

Ответ: нет, не пересекает.

е) Пусть точка $A$ находится в полуплоскости $\Pi_1$.

1. Отрезок $AC$ пересекает прямую $a$, значит, $C \in \Pi_2$.

2. Отрезок $BC$ пересекает прямую $a$, а $C \in \Pi_2$, значит, $B \in \Pi_1$.

3. Отрезок $BD$ пересекает прямую $a$, а $B \in \Pi_1$, значит, $D \in \Pi_2$.

В результате точка $A$ находится в $\Pi_1$, а точка $D$ — в $\Pi_2$. Так как они находятся в разных полуплоскостях, отрезок $AD$ пересекает прямую $a$.

Для изображения ситуации, точки $A$ и $B$ нужно расположить по одну сторону от прямой $a$, а точки $C$ и $D$ — по другую.

Ответ: да, пересекает.