Номер 3.22, страница 19 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

Подготовьтесь к овладению новыми знаниями

3.22. На сколько частей разбивают плоскость:

а) два луча;

б) три луча;

в) четыре луча;

г) $\text{n}$ лучей с общей вершиной?

а) Два различных луча, исходящие из одной общей вершины, образуют два угла, которые вместе составляют всю плоскость. Например, если один угол равен $ \alpha $, то второй равен $ 360^\circ - \alpha $. Эти два угла и являются частями, на которые лучи разбивают плоскость. В частном случае, если лучи противоположны и образуют прямую, они делят плоскость на две полуплоскости. Таким образом, два луча всегда разбивают плоскость на 2 части.

Ответ: 2

б) Рассмотрим три различных луча, исходящих из одной общей вершины. Первые два луча, как установлено в пункте а), делят плоскость на 2 части (угловые области). Третий луч неизбежно пройдет внутри одной из этих двух частей и разделит её на две новые части. Вторая часть останется без изменений. Таким образом, общее количество частей станет $ 1 + 2 = 3 $. Следовательно, три луча делят плоскость на 3 части.

Ответ: 3

в) По аналогии с предыдущим пунктом, рассмотрим четыре различных луча с общей вершиной. Как мы выяснили, три луча делят плоскость на 3 части. Четвертый луч, выходящий из той же вершины, попадёт в одну из этих трёх частей и разделит её на две. В результате общее число частей увеличится на единицу и станет равным $ 3 + 1 = 4 $. Таким образом, четыре луча делят плоскость на 4 части.

Ответ: 4

г) Обобщим результат для $n$ различных лучей, исходящих из одной общей вершины. Эти лучи можно мысленно пронумеровать в порядке их обхода вокруг вершины, например, против часовой стрелки от $r_1$ до $r_n$. Каждая пара соседних лучей (лучи $r_i$ и $r_{i+1}$, а также крайние лучи $r_n$ и $r_1$) образует угловой сектор. Всего таких секторов будет ровно $n$. Эти $n$ секторов не пересекаются (кроме как по граничным лучам) и в своем объединении составляют всю плоскость. Следовательно, $n$ лучей с общей вершиной разбивают плоскость на $n$ частей.

Этот вывод можно подтвердить методом математической индукции: два луча создают 2 области. Каждый последующий луч ($k$-й, где $k > 2$) добавляется в одну из $k-1$ существующих областей, делит её на две и увеличивает общее число областей на единицу. Таким образом, $n$ лучей создадут $n$ областей.

Ответ: $n$