Номер 3.20, страница 19 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

3.20. Толщина газетного листа равна 0,1 миллиметра. Газет-ный лист сложили пополам, потом еще раз пополам и так пятьдесят раз. Если предположить, что такое сложение возможно, то какой толщины получилась бы стопка?

Эта задача описывает экспоненциальный рост. Исходная толщина газетного листа составляет $t_0 = 0,1$ миллиметра. При каждом складывании листа пополам общая толщина стопки удваивается.

Проследим за изменением толщины:

• Исходная толщина: $T_0 = 0,1$ мм.
• После 1-го складывания: $T_1 = 0,1 \cdot 2 = 0,1 \cdot 2^1$ мм.
• После 2-го складывания: $T_2 = 0,1 \cdot 2 \cdot 2 = 0,1 \cdot 2^2$ мм.
• После 3-го складывания: $T_3 = 0,1 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 0,1 \cdot 2^3$ мм.

Таким образом, можно вывести общую формулу для толщины стопки $T_n$ после $n$ складываний: $T_n = t_0 \cdot 2^n$

По условию задачи, лист складывают 50 раз, следовательно, $n = 50$. Подставим наши значения в формулу, чтобы найти итоговую толщину $T_{50}$: $T_{50} = 0,1 \cdot 2^{50}$ мм.

Для вычисления значения $2^{50}$ воспользуемся точным значением или приближением.

Точное значение $2^{10} = 1024$. Тогда: $2^{50} = (2^{10})^5 = 1024^5 = 1\,125\,899\,906\,842\,624$.

Теперь вычислим точную толщину в миллиметрах: $T_{50} = 0,1 \cdot 1\,125\,899\,906\,842\,624 = 112\,589\,990\,684\,262,4$ мм.

Полученное число очень велико. Для лучшего понимания масштаба переведем его в километры. В одном километре содержится $1\,000$ метров, а в одном метре — $1\,000$ миллиметров. Значит, в одном километре $1\,000 \cdot 1\,000 = 1\,000\,000 = 10^6$ мм.

Толщина в километрах: $T_{50} \text{ (в км)} = \frac{112\,589\,990\,684\,262,4}{1\,000\,000} \approx 112\,589\,991$ км. Это составляет примерно 112,6 миллионов километров.

Для сравнения, среднее расстояние от Земли до Солнца составляет около 150 миллионов километров. Следовательно, толщина стопки, полученной после 50-кратного сложения газетного листа, составила бы более 75% расстояния от Земли до Солнца.

Ответ: толщина стопки составила бы $0,1 \cdot 2^{50}$ мм, что приблизительно равно 112,6 миллионам километров.