Номер 3.14, страница 18 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

3.14. На отрезке $\text{AB}$ длиной 15 м отмечена точка $\text{C}$. Найдите длины отрезков $\text{AC}$ и $\text{BC}$, если:

а) отрезок $\text{AC}$ на 3 м длиннее отрезка $\text{BC}$;

б) отрезок $\text{AC}$ в два раза длиннее отрезка $\text{BC}$;

в) длины отрезков $\text{AC}$ и $\text{BC}$ относятся как $2:3$.

По условию задачи, точка C лежит на отрезке AB, следовательно, длина отрезка AB равна сумме длин отрезков AC и BC. Мы знаем, что $AB = 15$ м. Таким образом, для всех подпунктов выполняется равенство: $AC + BC = 15$.

а) По условию, отрезок AC на 3 м длиннее отрезка BC. Это можно записать в виде уравнения: $AC = BC + 3$.

Составим систему уравнений:

$ \begin{cases} AC + BC = 15 \\ AC = BC + 3 \end{cases} $

Подставим второе уравнение в первое:

$(BC + 3) + BC = 15$

$2 \cdot BC + 3 = 15$

$2 \cdot BC = 15 - 3$

$2 \cdot BC = 12$

$BC = 12 / 2 = 6$ м.

Теперь найдем длину AC, подставив значение BC во второе уравнение:

$AC = 6 + 3 = 9$ м.

Проверка: $AC + BC = 9 + 6 = 15$ м.

Ответ: $AC = 9$ м, $BC = 6$ м.

б) По условию, отрезок AC в два раза длиннее отрезка BC. Это можно записать в виде уравнения: $AC = 2 \cdot BC$.

Составим систему уравнений:

$ \begin{cases} AC + BC = 15 \\ AC = 2 \cdot BC \end{cases} $

Подставим второе уравнение в первое:

$(2 \cdot BC) + BC = 15$

$3 \cdot BC = 15$

$BC = 15 / 3 = 5$ м.

Теперь найдем длину AC, подставив значение BC во второе уравнение:

$AC = 2 \cdot 5 = 10$ м.

Проверка: $AC + BC = 10 + 5 = 15$ м.

Ответ: $AC = 10$ м, $BC = 5$ м.

в) По условию, длины отрезков AC и BC относятся как $2:3$. Это означает, что $AC:BC = 2:3$.

Пусть одна часть отношения равна $x$ м. Тогда длина отрезка AC составляет $2x$ м, а длина отрезка BC составляет $3x$ м.

Составим уравнение, исходя из того, что их сумма равна 15 м:

$2x + 3x = 15$

$5x = 15$

$x = 15 / 5 = 3$ м.

Теперь найдем длины отрезков:

$AC = 2x = 2 \cdot 3 = 6$ м.

$BC = 3x = 3 \cdot 3 = 9$ м.

Проверка: $AC + BC = 6 + 9 = 15$ м. Отношение $6:9$ сокращается до $2:3$.

Ответ: $AC = 6$ м, $BC = 9$ м.