Номер 3.10, страница 18 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

3.10. Могут ли точки $\text{A}$, $\text{B}$, $\text{C}$ принадлежать одной прямой, если длина большего отрезка $\text{AB}$ меньше суммы длин отрезков $\text{AC}$ и $\text{BC}$?

Для того чтобы три точки, например A, B и C, принадлежали одной прямой, необходимо, чтобы одна из них лежала между двумя другими. Рассмотрим все возможные случаи расположения точек на прямой и проанализируем их в соответствии с условиями задачи.

В условии задачи указано, что AB — больший отрезок. Это означает, что его длина не меньше длин двух других отрезков, которые можно построить с помощью этих трех точек: $AB \ge AC$ и $AB \ge BC$.

Рассмотрим три возможных варианта расположения точек A, B, C на одной прямой:

1. Точка A лежит между точками B и C. В этом случае, согласно аксиоме измерения отрезков, длина всего отрезка BC равна сумме длин его частей: $BC = BA + AC$. Поскольку длина отрезка AC больше нуля ($AC > 0$), то отсюда следует, что $BC > AB$. Это противоречит нашему условию, что AB — больший отрезок.

2. Точка B лежит между точками A и C. Аналогично, в этом случае $AC = AB + BC$. Поскольку $BC > 0$, то $AC > AB$. Это также противоречит условию, что AB — больший отрезок.

3. Точка C лежит между точками A и B. В этом случае $AB = AC + BC$. Это расположение не противоречит тому, что AB — больший отрезок, так как $AB > AC$ и $AB > BC$.

Таким образом, если точки A, B, C лежат на одной прямой и AB является большим отрезком, то это возможно только в том случае, когда точка C лежит между точками A и B. Для этого случая справедливо строгое равенство: $AB = AC + BC$.

Однако по условию задачи нам дано неравенство $AB < AC + BC$.

Возникает противоречие: из предположения, что точки лежат на одной прямой при заданных условиях, следует, что $AB = AC + BC$, но условие задачи требует, чтобы $AB < AC + BC$. Одно и то же число не может быть одновременно равно и строго меньше другого числа.

Следовательно, исходное предположение о том, что точки A, B, C могут принадлежать одной прямой при выполнении заданных условий, является неверным. Условие $AB < AC + BC$, где AB — большая сторона, является неравенством треугольника и означает, что точки A, B, C образуют треугольник, то есть не лежат на одной прямой.

Ответ: Нет, не могут.