Номер 4.13, страница 23 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

4.13. Изобразите четыре попарно пересекающиеся прямые, три из которых не пересекаются в одной точке. На сколько частей они разбивают плоскость?

4.13. Чтобы решить задачу, рассмотрим процесс добавления прямых на плоскость по одной и будем считать, как изменяется количество частей, на которые разделена плоскость.

1. Первая прямая. Одна прямая делит плоскость на 2 части.

2. Вторая прямая. Добавим вторую прямую. По условию, она должна пересекать первую (прямые попарно пересекаются). Точка пересечения одна. Вторая прямая проходит через 2 уже существующие части и делит каждую из них надвое. Таким образом, количество частей увеличивается на 2. Всего частей становится $2 + 2 = 4$.

3. Третья прямая. Добавим третью прямую. Она должна пересечь первые две прямые. Условие "три из которых не пересекаются в одной точке" для трех прямых означает, что они не должны пересекаться в одной общей точке (т.е. должны образовывать треугольник). Таким образом, третья прямая пересечет первые две в двух разных точках. Эти две точки делят третью прямую на 3 сегмента (два луча и отрезок). Каждый из этих сегментов проходит через одну из существующих частей плоскости, разделяя её. Следовательно, добавятся 3 новые части. Всего частей становится $4 + 3 = 7$.

4. Четвертая прямая. Добавим четвертую прямую. Она должна пересечь три предыдущие прямые, причем, согласно условию, в трех различных точках (иначе три прямые — новая и две старые — пересеклись бы в одной точке). Эти три точки пересечения делят четвертую прямую на 4 сегмента (два луча и два отрезка). Каждый из этих четырех сегментов разделяет одну из существующих частей плоскости надвое. Это добавляет 4 новые части. Общее количество частей становится $7 + 4 = 11$.

Такое расположение прямых, когда никакие две не параллельны и никакие три не пересекаются в одной точке, называется общим положением. Количество частей $R(n)$, на которые $n$ прямых в общем положении разбивают плоскость, можно вычислить по формуле:

$R(n) = \frac{n(n+1)}{2} + 1$

Применим эту формулу для $n=4$:

$R(4) = \frac{4(4+1)}{2} + 1 = \frac{4 \cdot 5}{2} + 1 = 10 + 1 = 11$

Оба способа рассуждений приводят к одному и тому же результату.

Ответ: 11 частей.