Номер 4.19, страница 23 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

4.19. На сколько частей делят плоскость:

а) два луча с общей вершиной;

б) три луча с общей вершиной;

в) четыре луча с общей вершиной;

г) *$\text{n}$ лучей с общей вершиной?

а) Два луча, выходящие из одной общей вершины, образуют угол. Эти лучи делят всю плоскость на две части: внутреннюю область этого угла и его внешнюю область. В частном случае, если лучи являются противоположными и вместе образуют прямую, эта прямая также делит плоскость на две части (две полуплоскости). Таким образом, два луча с общей вершиной делят плоскость на 2 части.

Ответ: 2

б) Рассмотрим три различных луча, выходящие из одной общей вершины. Первые два луча делят плоскость на 2 части (области). Третий луч, исходящий из той же вершины, пройдет внутри одной из этих двух областей и разделит её на две. В результате общее количество областей станет $(2 - 1) + 2 = 3$. Следовательно, три луча с общей вершиной делят плоскость на 3 части.

Ответ: 3

в) По аналогии с предыдущими пунктами, четыре различных луча с общей вершиной разделят плоскость на 4 части. Можно рассуждать пошагово: два луча создают 2 области, третий луч увеличивает их количество до 3, а четвертый — до 4. Каждый новый луч (если он не совпадает с уже существующими) делит одну из имеющихся областей на две, увеличивая их общее число на единицу.

Ответ: 4

г) Обобщим закономерность для $n$ различных лучей, выходящих из одной общей вершины. Как мы видели, 2 луча делят плоскость на 2 части, 3 луча — на 3 части, 4 луча — на 4 части. В общем случае, каждый новый луч (начиная со второго) делит одну из уже существующих областей на две, увеличивая общее количество областей ровно на одну. Таким образом, если имеется $n$ лучей, то они разделят плоскость на $n$ частей. Это утверждение можно строго доказать методом математической индукции, где базой является случай с $n=2$ лучами, а на шаге индукции показывается, что добавление $(k+1)$-го луча к $k$ лучам, делящим плоскость на $k$ частей, приводит к разделению на $k+1$ часть.

Ответ: $n$