Номер 4.11, страница 23 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

4.11. Даны пять точек и прямая, не проходящая ни через одну из этих точек. Известно, что три точки расположены в одной полуплоскости, две другие — в другой полуплоскости относительно этой прямой. Каждая пара точек соединена отрезком. Сколько отрезков: а) пересекает прямую; б) не пересекает прямую? Сделайте соответствующий рисунок.

Для решения задачи обозначим прямую как $l$. Эта прямая делит плоскость на две полуплоскости. Пусть в первой полуплоскости ($P_1$) находятся 3 точки (назовем их $A_1, A_2, A_3$), а во второй полуплоскости ($P_2$) — 2 точки (назовем их $B_1, B_2$).

Всего дано 5 точек. Общее количество отрезков, соединяющих все возможные пары точек, можно найти по формуле числа сочетаний из $n$ по $k$, где $n=5$ (всего точек) и $k=2$ (точки для одного отрезка):

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

$C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10$

Таким образом, всего существует 10 отрезков.

Отрезок пересекает прямую $l$ тогда и только тогда, когда его концы лежат в разных полуплоскостях относительно этой прямой. В нашем случае это означает, что один конец отрезка должен принадлежать множеству точек $\{A_1, A_2, A_3\}$ (полуплоскость $P_1$), а другой — множеству $\{B_1, B_2\}$ (полуплоскость $P_2$).

Чтобы найти количество таких отрезков, нужно количество точек в первой полуплоскости умножить на количество точек во второй полуплоскости.

Количество пересекающих отрезков = (число точек в $P_1$) $\times$ (число точек в $P_2$) = $3 \times 2 = 6$.

Ответ: 6

Отрезок не пересекает прямую $l$, если его концы лежат в одной и той же полуплоскости. Есть два случая:

1. Оба конца отрезка лежат в первой полуплоскости $P_1$. В ней находятся 3 точки ($A_1, A_2, A_3$). Количество отрезков, которые можно построить, равно числу сочетаний из 3 по 2:

$C_3^2 = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 1} = 3$. (Это отрезки $A_1A_2$, $A_1A_3$, $A_2A_3$)

2. Оба конца отрезка лежат во второй полуплоскости $P_2$. В ней находятся 2 точки ($B_1, B_2$). Количество отрезков, которые можно построить, равно числу сочетаний из 2 по 2:

$C_2^2 = \frac{2!}{2!(2-2)!} = 1$. (Это отрезок $B_1B_2$)

Суммируем количество отрезков из обоих случаев: $3 + 1 = 4$.

Альтернативный способ: можно из общего числа отрезков (10) вычесть количество отрезков, пересекающих прямую (6).

$10 - 6 = 4$.

Ответ: 4

На рисунке ниже прямая $l$ разделяет плоскость. Точки $A_1, A_2, A_3$ находятся в верхней полуплоскости, а точки $B_1, B_2$ — в нижней. Отрезки, пересекающие прямую $l$, показаны красным цветом. Отрезки, не пересекающие прямую, — синим.