Номер 5.4, страница 27 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

5.4. На клетчатой бумаге изобразите угол $AOB$ и луч $\text{PQ}$, как показано на рисунке 5.13. От луча $\text{PQ}$ отложите угол $QPR$, равный углу $AOB$.

Рис. 5.13

а) Чтобы отложить от луча $PQ$ угол $QPR$, равный углу $AOB$, сначала определим величину угла $AOB$ на рисунке а). Вершина угла $O$ находится в узле сетки. Луч $OA$ направлен вдоль горизонтальной линии сетки. Луч $OB$ проходит через узлы сетки таким образом, что для перемещения из точки $O$ в любую точку на луче $OB$ (например, в точку $B$), нужно сместиться на одинаковое количество клеток вправо и вверх (в данном случае, на 2 клетки вправо и 2 клетки вверх). Это означает, что луч $OB$ образует с горизонтальным лучом $OA$ угол в $45^\circ$. Таким образом, $\angle AOB = 45^\circ$.

Теперь нам нужно построить угол $QPR$, равный $45^\circ$. Вершиной угла будет точка $P$. Один из лучей угла — это луч $PQ$, который на рисунке а) направлен вертикально вверх вдоль линии сетки. Чтобы второй луч, $PR$, образовывал с вертикальным лучом $PQ$ угол $45^\circ$, он должен быть направлен по диагонали клеток сетки.

Для построения луча $PR$ нужно из точки $P$ провести луч, который проходит через узлы сетки, смещенные на одинаковое расстояние по горизонтали и вертикали от точки $P$. Например, можно взять точку $R$, смещенную на 2 клетки вправо и на 2 клетки вверх от точки $P$. Проведя луч $PR$, мы получим угол $QPR$, равный $45^\circ$. Можно также провести луч в другую сторону, смещаясь на 2 клетки влево и на 2 клетки вверх.

Ответ: Чтобы построить угол $QPR$, равный углу $AOB$, нужно от точки $P$ провести луч $PR$, проходящий через узел сетки, который смещен от точки $P$ на $n$ клеток вправо и на $n$ клеток вверх (или на $n$ клеток влево и на $n$ клеток вверх).

б) На рисунке б) угол $AOB$ такой же, как и на рисунке а), то есть $\angle AOB = 45^\circ$. Луч $OA$ горизонтален, а луч $OB$ проходит по диагонали клеток.

Рассмотрим луч $PQ$. Он начинается в точке $P$ и также проходит по диагонали клеток (смещаясь на 2 клетки вправо и 2 клетки вверх). Это означает, что сам луч $PQ$ образует угол $45^\circ$ с горизонтальной линией сетки.

Нам нужно отложить от луча $PQ$ угол $QPR$, равный $45^\circ$. Так как луч $PQ$ уже наклонен на $45^\circ$ к горизонтали, есть две простые возможности для построения луча $PR$:

1. Провести луч $PR$ горизонтально. Угол между лучом $PQ$, наклоненным под $45^\circ$ к горизонтали, и горизонтальным лучом $PR$ будет равен $45^\circ$.
2. Провести луч $PR$ вертикально. Угол между лучом $PQ$, наклоненным под $45^\circ$ к горизонтали, и вертикальным лучом $PR$ также будет равен $45^\circ$ (поскольку $90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$).

В обоих случаях мы получим угол $QPR$, равный $45^\circ$.

Ответ: Чтобы построить угол $QPR$, равный углу $AOB$, можно из точки $P$ провести луч $PR$ вдоль горизонтальной линии сетки вправо или вдоль вертикальной линии сетки вверх.