Номер 5.7, страница 28 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

5.7. Сколько углов, больше развернутого, образуются лучами, изображенными на рисунке 5.14?

Рис. 5.14

5.7. Для решения этой задачи необходимо найти все углы, образованные данными лучами, которые больше развернутого угла. Развернутый угол равен $180^\circ$. Угол, больший $180^\circ$, также называют рефлекторным.

На рисунке показаны 4 луча (OA, OB, OC, OD), выходящие из одной точки O. Угол образуется парой лучей. Посчитаем, сколько всего можно составить уникальных пар из этих четырех лучей. Для этого можно использовать формулу сочетаний из комбинаторики или просто перечислить все пары.

Число сочетаний из 4 элементов по 2 равно: $C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$.

Таким образом, существует 6 пар лучей, образующих углы: (OA, OB), (OA, OC), (OA, OD), (OB, OC), (OB, OD), (OC, OD).

Каждая пара лучей образует два угла: один внутренний (соответствующий кратчайшему повороту от одного луча к другому) и один внешний (рефлекторный). Сумма этих двух углов всегда равна $360^\circ$.

Из рисунка видно, что все внутренние углы ($\angle AOB, \angle AOC, \angle AOD, \angle BOC, \angle BOD, \angle COD$) меньше $180^\circ$. Никакая пара лучей не образует прямую, поэтому ни один из внутренних углов не равен $180^\circ$.

Пусть внутренний угол, образованный некоторой парой лучей, равен $\alpha$. Поскольку $\alpha < 180^\circ$, соответствующий ему рефлекторный угол будет равен $360^\circ - \alpha$. Этот угол будет больше $180^\circ$, так как $360^\circ - \alpha > 360^\circ - 180^\circ = 180^\circ$.

Это означает, что для каждой из 6 пар лучей существует ровно один угол (рефлекторный), который больше развернутого. Следовательно, общее количество таких углов равно 6.

Ответ: 6