Номер 5.12, страница 29 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

5.12. На клетчатой бумаге изобразите угол, равный сумме углов $\angle ABC$ и $\angle PQR$ (рис. 5.17).

Рис. 5.17

а) Чтобы найти сумму углов $\angle ABC$ и $\angle PQR$, можно воспользоваться методом, основанным на тангенсах углов. Тангенс угла на клетчатой бумаге легко найти как отношение количества клеток "противолежащего катета" к "прилежащему катету" для прямоугольного треугольника, построенного по линиям сетки.

1. Найдем тангенс угла $\angle ABC$. Вершина B находится в узле сетки. Луч BA идет горизонтально вдоль линии сетки. Луч BC проходит через узел сетки, который смещен на 3 клетки вправо и на 1 клетку вверх относительно B. Таким образом, тангенс угла $\angle ABC$ равен:

$\tan(\angle ABC) = \frac{1}{3}$

2. Найдем величину угла $\angle PQR$. Вершина Q находится в узле сетки. Луч QR идет вертикально вверх. Луч QP проходит через узел сетки, смещенный на 2 клетки вправо и на 2 клетки вверх от Q. Это означает, что луч QP образует угол $45^\circ$ с горизонтальной линией сетки. Поскольку луч QR вертикален (образует угол $90^\circ$ с горизонталью), то угол между лучами QP и QR равен:

$\angle PQR = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$

Следовательно, тангенс этого угла: $\tan(\angle PQR) = \tan(45^\circ) = 1$.

3. Теперь найдем тангенс суммы углов $\angle ABC + \angle PQR$, используя формулу сложения тангенсов: $\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha \tan\beta}$.

$\tan(\angle ABC + \angle PQR) = \frac{\tan(\angle ABC) + \tan(\angle PQR)}{1 - \tan(\angle ABC) \cdot \tan(\angle PQR)} = \frac{\frac{1}{3} + 1}{1 - \frac{1}{3} \cdot 1} = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{2}{3}} = 2$

4. Чтобы изобразить угол, тангенс которого равен 2, нужно построить угол, одна сторона которого идет по линии сетки (например, горизонтально), а вторая проходит через узел, смещенный на 1 клетку по горизонтали и на 2 клетки по вертикали от вершины.

Ниже представлено изображение искомого угла MON.

Ответ: Угол, тангенс которого равен 2. Одна сторона угла идет вдоль линии сетки, а вторая проходит через точку, смещенную от вершины на 1 клетку по горизонтали и 2 по вертикали.

б) Аналогично предыдущему пункту, найдем тангенсы данных углов и их суммы.

1. Найдем тангенс угла $\angle ABC$. Вершина B в узле сетки, луч BA идет горизонтально. Луч BC проходит через узел, смещенный на 3 клетки вправо и 1 клетку вверх от B. Тангенс этого угла равен:

$\tan(\angle ABC) = \frac{1}{3}$

2. Найдем тангенс угла $\angle PQR$. Вершина Q в узле сетки. Чтобы найти тангенс угла $\angle PQR$, найдем сначала тангенсы углов, которые лучи QP и QR образуют с горизонталью.

Луч QP проходит через узел, смещенный на 2 клетки вправо и 2 клетки вверх от Q. Тангенс угла, образованного лучом QP с горизонталью, равен $\frac{2}{2} = 1$.

Луч QR проходит через узел, смещенный на 1 клетку вправо и 3 клетки вверх от Q. Тангенс угла, образованного лучом QR с горизонталью, равен $\frac{3}{1} = 3$.

Угол $\angle PQR$ является разностью этих двух углов (угол между лучами QR и QP). Воспользуемся формулой тангенса разности: $\tan(\beta - \alpha) = \frac{\tan\beta - \tan\alpha}{1 + \tan\beta \tan\alpha}$.

$\tan(\angle PQR) = \frac{3 - 1}{1 + 3 \cdot 1} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

3. Теперь найдем тангенс суммы искомых углов $\angle ABC$ и $\angle PQR$ по формуле сложения тангенсов:

$\tan(\angle ABC + \angle PQR) = \frac{\tan(\angle ABC) + \tan(\angle PQR)}{1 - \tan(\angle ABC) \cdot \tan(\angle PQR)} = \frac{\frac{1}{3} + \frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}} = \frac{\frac{2+3}{6}}{1 - \frac{1}{6}} = \frac{\frac{5}{6}}{\frac{5}{6}} = 1$

4. Тангенс искомого угла равен 1. Это означает, что угол равен $45^\circ$. Такой угол легко построить на клетчатой бумаге: одна его сторона идет по горизонтальной линии сетки, а другая — по диагонали клеток.

Ниже представлено изображение искомого угла KMN.

Ответ: Искомый угол равен $45^\circ$. Его можно построить, проведя одну сторону по горизонтальной линии сетки, а другую — по диагонали клеток.