Номер 5.19, страница 31 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

5.19. Докажите, что если два угла равны, то равны и смежные им углы.

5.19. Пусть $\angle 1$ и $\angle 2$ — два равных угла, то есть $\angle 1 = \angle 2$. Пусть $\angle 3$ — угол, смежный с $\angle 1$, а $\angle 4$ — угол, смежный с $\angle 2$. Требуется доказать, что $\angle 3 = \angle 4$.

Доказательство.

По свойству смежных углов, их сумма равна $180^\circ$.

Для пары углов $\angle 1$ и $\angle 3$ это записывается как $\angle 1 + \angle 3 = 180^\circ$. Отсюда следует, что $\angle 3 = 180^\circ - \angle 1$.

Аналогично, для пары углов $\angle 2$ и $\angle 4$ имеем $\angle 2 + \angle 4 = 180^\circ$. Отсюда следует, что $\angle 4 = 180^\circ - \angle 2$.

По условию задачи $\angle 1 = \angle 2$. Так как правые части в выражениях для $\angle 3$ и $\angle 4$ ($180^\circ - \angle 1$ и $180^\circ - \angle 2$) содержат равные вычитаемые, то эти правые части равны между собой.

Следовательно, равны и левые части: $\angle 3 = \angle 4$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.