Номер 5.17, страница 30 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

5.17. Какая прямая из указанных на рисунке 5.22 перпендикулярна прямой:

а) $\text{a}$;

б) $\text{b}$;

в) $\text{c}$;

г) $\text{d}$?

Рис. 5.22

Для решения задачи введем систему координат, поместив ее начало в общую точку пересечения прямых. Ось абсцисс (Ox) направим горизонтально вправо, а ось ординат (Oy) — вертикально вверх. Длину стороны одной клетки сетки примем за единицу.

Две прямые перпендикулярны, если угол между ними равен $90^\circ$. Для прямых, заданных уравнениями $y = k_1x + b_1$ и $y = k_2x + b_2$, условие перпендикулярности (кроме случаев вертикальной и горизонтальной прямых) выражается через их угловые коэффициенты: $k_1 \cdot k_2 = -1$. Так как все прямые проходят через начало координат, их уравнение имеет вид $y=kx$. Угловой коэффициент прямой, проходящей через начало координат и точку с координатами $(x_0, y_0)$, равен $k = \frac{y_0}{x_0}$.

а) Прямая $a$ является вертикальной и совпадает с осью Oy. Прямая, перпендикулярная вертикальной, должна быть горизонтальной. На рисунке прямая $e$ является горизонтальной, она совпадает с осью Ox. Следовательно, прямая $a$ перпендикулярна прямой $e$.

Ответ: $e$.

б) Прямая $b$ проходит через начало координат и точку с координатами $(2, 2)$. Её угловой коэффициент $k_b = \frac{2}{2} = 1$. Угловой коэффициент перпендикулярной ей прямой должен быть равен $k_{\perp} = -\frac{1}{k_b} = -\frac{1}{1} = -1$. Теперь найдем прямую с угловым коэффициентом $-1$. Это прямая $f$, которая проходит через начало координат и точку $(2, -2)$, ее угловой коэффициент $k_f = \frac{-2}{2} = -1$. Так как $k_b \cdot k_f = 1 \cdot (-1) = -1$, прямые $b$ и $f$ перпендикулярны.

Ответ: $f$.

в) Прямая $c$ проходит через начало координат и точку с координатами $(1, 2)$. Её угловой коэффициент $k_c = \frac{2}{1} = 2$. Угловой коэффициент перпендикулярной ей прямой должен быть равен $k_{\perp} = -\frac{1}{k_c} = -\frac{1}{2}$. Теперь найдем прямую с угловым коэффициентом $-\frac{1}{2}$. Это прямая $g$, которая проходит через начало координат и точку $(2, -1)$, ее угловой коэффициент $k_g = \frac{-1}{2} = -\frac{1}{2}$. Так как $k_c \cdot k_g = 2 \cdot (-\frac{1}{2}) = -1$, прямые $c$ и $g$ перпендикулярны.

Ответ: $g$.

г) Прямая $d$ проходит через начало координат и точку с координатами $(2, 1)$. Её угловой коэффициент $k_d = \frac{1}{2}$. Угловой коэффициент перпендикулярной ей прямой должен быть равен $k_{\perp} = -\frac{1}{k_d} = -\frac{1}{1/2} = -2$. Теперь найдем прямую с угловым коэффициентом $-2$. Это прямая $h$, которая проходит через начало координат и точку $(1, -2)$, ее угловой коэффициент $k_h = \frac{-2}{1} = -2$. Так как $k_d \cdot k_h = \frac{1}{2} \cdot (-2) = -1$, прямые $d$ и $h$ перпендикулярны.

Ответ: $h$.