Номер 5.10, страница 28 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

5.10. На клетчатой бумаге нарисуйте угол $\angle AOB$, аналогично данному на рисунке 5.15. Изобразите биссектрису $\text{OC}$ этого угла.

Рис. 5.15

а) Сначала нарисуем на клетчатой бумаге угол AOB, аналогичный данному на рисунке а). Вершину O разместим в узле сетки. Лучи OA и OB направим вдоль линий сетки (горизонтальной и вертикальной). В этом случае угол AOB будет прямым, то есть его градусная мера равна $90^\circ$.

Биссектриса угла делит его на два равных угла. Биссектриса OC прямого угла AOB делит его на два угла по $90^\circ / 2 = 45^\circ$.

На клетчатой бумаге луч, образующий угол $45^\circ$ с линиями сетки, проходит по диагоналям клеток. Таким образом, чтобы построить биссектрису OC, нужно из вершины O провести луч через диагональные узлы сетки, находящиеся внутри угла.

Ответ: Биссектриса OC — это луч, выходящий из вершины O и проходящий по диагоналям клеток.

б) Сначала нарисуем на клетчатой бумаге угол AOB, аналогичный данному на рисунке б). Вершину O разместим в узле сетки. Чтобы нарисовать луч OA, отступим от O на 1 клетку влево и 2 клетки вниз. Чтобы нарисовать луч OB, отступим от O на 3 клетки вправо и 1 клетку вниз.

Для построения биссектрисы произвольного угла, каким является угол AOB в данном случае, используется классический метод с помощью циркуля и линейки. Этот метод можно применить и на клетчатой бумаге.

1. Из вершины угла O как из центра, проводим дугу окружности произвольного радиуса r. Эта дуга пересекает стороны угла в точках P (на луче OA) и Q (на луче OB).
2. Затем из точек P и Q как из центров, проводим две дуги одинакового радиуса R (радиус R должен быть достаточно большим, чтобы дуги пересеклись) внутри угла.
3. Точку пересечения этих двух дуг обозначим C.
4. Проводим луч OC. Этот луч и является биссектрисой угла AOB.

Это следует из того, что по построению треугольники $\triangle POC$ и $\triangle QOC$ равны по трем сторонам ($OP=OQ=r$, $PC=QC=R$, а сторона OC — общая). Из равенства треугольников следует равенство углов: $\angle POC = \angle QOC$.

Ответ: Биссектриса OC строится с помощью циркуля и линейки, как показано на рисунке.