Номер 5.16, страница 30 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

5.16. На клетчатой бумаге через точку $\text{C}$ проведите прямую, перпендикулярную прямой $\text{AB}$ (рис. 5.21).

Рис. 5.21

а) Чтобы провести прямую, перпендикулярную прямой AB, через точку C, воспользуемся понятием углового коэффициента. Угловой коэффициент прямой на клетчатой бумаге можно определить как отношение изменения координат по вертикали к изменению по горизонтали при перемещении между двумя точками на прямой.

Рассмотрим прямую AB. Чтобы переместиться из точки A в точку B, необходимо сместиться на 4 клетки вправо и на 2 клетки вверх. Таким образом, угловой коэффициент прямой AB равен $k_{AB} = \frac{\text{смещение по вертикали}}{\text{смещение по горизонтали}} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

Условием перпендикулярности двух прямых является то, что произведение их угловых коэффициентов равно -1. Обозначим угловой коэффициент искомой прямой как $k_{\perp}$. Тогда должно выполняться равенство $k_{AB} \cdot k_{\perp} = -1$. Отсюда находим угловой коэффициент перпендикулярной прямой: $k_{\perp} = -\frac{1}{k_{AB}} = -\frac{1}{1/2} = -2$.

Угловой коэффициент $k_{\perp} = -2$ можно представить в виде дроби $\frac{-2}{1}$. Это означает, что для построения перпендикулярной прямой нужно из любой ее точки сместиться на 1 клетку вправо и 2 клетки вниз (или на 1 клетку влево и 2 клетки вверх), чтобы получить другую точку этой прямой. Чтобы провести прямую через точку C, нужно отложить от нее, например, 1 клетку вправо и 2 клетки вниз. Соединив точку C с полученной новой точкой, мы получим искомую прямую.

Ответ: Прямая, проходящая через точку C и точку, расположенную на 1 клетку правее и 2 клетки ниже С, будет перпендикулярна прямой АВ.

б) Действуем аналогично предыдущему пункту. Сначала найдем угловой коэффициент прямой AB. Чтобы переместиться по прямой из точки, где она пересекает левую вертикальную линию сетки, в точку B, мы смещаемся на 2 клетки вправо и на 4 клетки вверх. Следовательно, угловой коэффициент прямой AB равен $k_{AB} = \frac{4}{2} = 2$.

Угловой коэффициент $k_{\perp}$ перпендикулярной прямой находится из условия перпендикулярности $k_{AB} \cdot k_{\perp} = -1$. Отсюда получаем: $k_{\perp} = -\frac{1}{k_{AB}} = -\frac{1}{2}$.

Угловой коэффициент $k_{\perp} = -\frac{1}{2}$ показывает, что при смещении на 2 клетки вправо по этой прямой происходит смещение на 1 клетку вниз. Для построения прямой, проходящей через точку C, необходимо от точки C отложить 2 клетки вправо и 1 клетку вниз (или 2 клетки влево и 1 клетку вверх), чтобы найти вторую точку. Соединив эти точки прямой линией, получим искомую перпендикулярную прямую.

Ответ: Прямая, проходящая через точку С и точку, расположенную на 2 клетки левее и 1 клетку выше С, будет перпендикулярна прямой АВ.