Номер 5.18, страница 31 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

5.18. На клетчатой бумаге изобразите угол, равный разности углов:

а) $\text{C}$ и $\text{B}$ (рис 5.25, а);

б) $\text{B}$ и $\text{C}$ (рис. 5.25, б).

Рис. 5.23

а) Рассмотрим трапецию, изображенную на рис. 5.23, а. Углы $B$ и $C$ — это внутренние углы трапеции при вершинах $B$ и $C$. Пусть сторона одной клетки равна 1. Введем систему координат так, чтобы вершина $B$ находилась в начале координат, т.е. $B=(0,0)$.

Сторона $BA$ горизонтальна и имеет длину 3, значит, вершина $A$ имеет координаты $A=(3,0)$ (если считать, что $A$ правее $B$).

Сторона $BC$ соединяет точку $B(0,0)$ с точкой, которая находится на 1 клетку правее и на 2 клетки выше. Значит, вершина $C$ имеет координаты $C=(1,2)$.

Сторона $CD$ параллельна стороне $BA$ и имеет длину 2. Значит, вершина $D$ имеет координаты $D=(1+2, 2) = (3,2)$.

Таким образом, мы имеем трапецию с вершинами $B(0,0)$, $A(3,0)$, $D(3,2)$ и $C(1,2)$. Это прямоугольная трапеция с прямыми углами при вершинах $A$ и $D$.

Найдем величины углов $B$ и $C$.

Угол $B$ — это угол $\angle ABC$. Он образован векторами $\vec{BA} = (3,0)$ и $\vec{BC} = (1,2)$. Косинус этого угла равен: $ \cos(\angle B) = \frac{\vec{BA} \cdot \vec{BC}}{|\vec{BA}| \cdot |\vec{BC}|} = \frac{3 \cdot 1 + 0 \cdot 2}{\sqrt{3^2+0^2} \cdot \sqrt{1^2+2^2}} = \frac{3}{3\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} $ Обозначим $\angle B = \alpha$. Тогда $\cos(\alpha) = \frac{1}{\sqrt{5}}$. Так как угол острый, $\sin(\alpha) = \sqrt{1-\cos^2(\alpha)} = \sqrt{1 - \frac{1}{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$. Следовательно, $\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = 2$.

Угол $C$ — это угол $\angle BCD$. Он образован векторами $\vec{CB} = (-1,-2)$ и $\vec{CD} = (2,0)$. Косинус этого угла равен: $ \cos(\angle C) = \frac{\vec{CB} \cdot \vec{CD}}{|\vec{CB}| \cdot |\vec{CD}|} = \frac{-1 \cdot 2 + (-2) \cdot 0}{\sqrt{(-1)^2+(-2)^2} \cdot \sqrt{2^2+0^2}} = \frac{-2}{\sqrt{5} \cdot 2} = -\frac{1}{\sqrt{5}} $ Так как $\cos(\angle C) = -\cos(\angle B)$, то $\angle C = 180^\circ - \angle B = 180^\circ - \alpha$. Это свойство углов трапеции, прилежащих к боковой стороне.

Нам нужно найти угол, равный разности углов $C$ и $B$: $ \Delta\angle = \angle C - \angle B = (180^\circ - \alpha) - \alpha = 180^\circ - 2\alpha $ Найдем тангенс этого угла, чтобы построить его на клетчатой бумаге. $ \tan(\Delta\angle) = \tan(180^\circ - 2\alpha) = -\tan(2\alpha) $ Используем формулу тангенса двойного угла: $ \tan(2\alpha) = \frac{2\tan(\alpha)}{1 - \tan^2(\alpha)} = \frac{2 \cdot 2}{1 - 2^2} = \frac{4}{1-4} = -\frac{4}{3} $ Тогда: $ \tan(\Delta\angle) = -(-\frac{4}{3}) = \frac{4}{3} $ Чтобы изобразить угол с тангенсом $4/3$, нужно построить прямоугольный треугольник, у которого катеты равны 3 и 4 клеткам. Искомым будет угол, противолежащий катету длиной 4 клетки.

Построение: 1. Выберите точку на пересечении линий сетки — это будет вершина искомого угла. 2. От этой вершины проведите горизонтальный луч вправо вдоль линии сетки. Это будет одна сторона угла. 3. От той же вершины отступите на 3 клетки вправо и на 4 клетки вверх и поставьте точку. 4. Проведите луч из вершины угла через эту точку. Это будет вторая сторона угла. Полученный угол и будет равен разности углов $C$ и $B$.

Ответ: Угол, равный разности углов $C$ и $B$, — это острый угол $\beta$, тангенс которого равен $4/3$. Для его построения на клетчатой бумаге нужно из вершины угла построить лучи, проходящие через точки с относительными координатами $(3,0)$ и $(3,4)$ или, что то же самое, $(0,0)$ и $(3,4)$.

б) Рассмотрим ломаную линию на рис. 5.23, б. Найдем разность углов $B$ и $C$. Пусть сторона одной клетки равна 1. Введем систему координат, поместив точку $A$ в начало координат, $A=(0,0)$.

Точка $B$ находится на 2 клетки выше $A$, так что $B=(0,2)$.

Точка $C$ находится на 1 клетку правее и на 1 клетку выше $B$, так что $C=(0+1, 2+1)=(1,3)$.

Точка $D$ находится на 2 клетки правее $C$, так что $D=(1+2, 3)=(3,3)$.

Угол $B$ — это угол $\angle ABC$. Он образован векторами $\vec{BA} = (0,-2)$ и $\vec{BC} = (1,1)$. Угол $C$ — это угол $\angle BCD$. Он образован векторами $\vec{CB} = (-1,-1)$ и $\vec{CD} = (2,0)$.

Найдем величины этих углов, разложив их на более простые. Для угла $B$: проведем через точку $B$ горизонтальную прямую. Вектор $\vec{BA}$ — вертикальный, направлен вниз. Вектор $\vec{BC}$ образует с горизонтальной прямой угол $45^\circ$, так как его координаты $(1,1)$. Угол между вертикальной и горизонтальной прямыми равен $90^\circ$. Так как векторы направлены в соседние квадранты (IV и I), то угол $\angle ABC = 90^\circ + 45^\circ = 135^\circ$.

Для угла $C$: сторона $CD$ горизонтальна. Сторона $CB$ образована вектором $\vec{CB}=(-1,-1)$. Этот вектор образует с отрицательным направлением оси Ox угол $45^\circ$. Угол $\angle BCD$ является внутренним углом и равен $180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$.

Итак, мы получили, что $\angle B = 135^\circ$ и $\angle C = 135^\circ$. Разность углов $B$ и $C$ равна: $ \angle B - \angle C = 135^\circ - 135^\circ = 0^\circ $ Угол, равный $0^\circ$, представляет собой луч.

Ответ: Разность углов $B$ и $C$ равна $0^\circ$. На клетчатой бумаге такой угол изображается в виде луча.