Номер 938, страница 227 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Квадратные уравнения. Упражнения для повторения курса алгебры 8 класса - номер 938, страница 227.

Условие.

938. В слитке сплава меди и цинка содержится 20 кг цинка. К этому слитку добавили 3 кг меди и 4 кг цинка. Процентное содержание меди в полученном сплаве на 5 % больше, чем в исходном. Сколько килограммов меди содержал исходный сплав?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Пусть в исходном слитке содержалось $x$ кг меди. Согласно условию, в нем было $20$ кг цинка. Тогда общая масса исходного слитка составляла $(x + 20)$ кг. Массовая доля меди в исходном слитке равна $\frac{x}{x + 20}$.

К этому слитку добавили $3$ кг меди и $4$ кг цинка. Масса меди в новом слитке стала $(x + 3)$ кг. Масса цинка в новом слитке стала $(20 + 4) = 24$ кг. Общая масса нового слитка стала $(x + 20) + 3 + 4 = (x + 27)$ кг. Массовая доля меди в полученном слитке равна $\frac{x + 3}{x + 27}$.

Известно, что процентное содержание меди в полученном сплаве на $5\%$ больше, чем в исходном. Переведем $5\%$ в десятичную дробь: $5\% = 0.05 = \frac{5}{100} = \frac{1}{20}$. Теперь мы можем составить уравнение, приравняв разницу массовых долей к этой величине:

$\frac{x + 3}{x + 27} - \frac{x}{x + 20} = \frac{1}{20}$

Приведем дроби в левой части уравнения к общему знаменателю $(x + 27)(x + 20)$:

$\frac{(x + 3)(x + 20) - x(x + 27)}{(x + 27)(x + 20)} = \frac{1}{20}$

Раскроем скобки в числителе и знаменателе левой части:

$\frac{(x^2 + 20x + 3x + 60) - (x^2 + 27x)}{x^2 + 20x + 27x + 540} = \frac{1}{20}$

Упростим выражение, приведя подобные слагаемые:

$\frac{x^2 + 23x + 60 - x^2 - 27x}{x^2 + 47x + 540} = \frac{1}{20}$

$\frac{60 - 4x}{x^2 + 47x + 540} = \frac{1}{20}$

Воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение):

$20 \cdot (60 - 4x) = 1 \cdot (x^2 + 47x + 540)$

$1200 - 80x = x^2 + 47x + 540$

Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + 47x + 80x + 540 - 1200 = 0$

$x^2 + 127x - 660 = 0$

Решим это уравнение. Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 127^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-660) = 16129 + 2640 = 18769$

Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{18769} = 137$.

Найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-127 + 137}{2} = \frac{10}{2} = 5$

$x_2 = \frac{-127 - 137}{2} = \frac{-264}{2} = -132$

Так как масса $x$ не может быть отрицательной величиной, корень $x_2 = -132$ не имеет физического смысла в данной задаче. Следовательно, масса меди в исходном сплаве составляет $5$ кг.

Ответ: $5$ кг.