Страница 227 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

929. Составьте квадратное уравнение, корни которого на 1 меньше соответствующих корней уравнения $x^2 - 3x - 5 = 0$.

Для решения этой задачи можно использовать два способа.

Способ 1: Использование теоремы Виета

Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни исходного квадратного уравнения $x^2 - 3x - 5 = 0$. Согласно теореме Виета, для этого уравнения справедливы следующие соотношения:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -(-3) = 3$
• Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = -5$

Пусть $y_1$ и $y_2$ — корни нового квадратного уравнения. По условию задачи, они на 1 меньше соответствующих корней исходного уравнения:

$y_1 = x_1 - 1$
$y_2 = x_2 - 1$

Теперь найдем сумму и произведение новых корней, чтобы составить искомое уравнение.

Сумма новых корней:
$y_1 + y_2 = (x_1 - 1) + (x_2 - 1) = (x_1 + x_2) - 2$
Подставляем известное значение $x_1 + x_2 = 3$:
$y_1 + y_2 = 3 - 2 = 1$

Произведение новых корней:
$y_1 \cdot y_2 = (x_1 - 1)(x_2 - 1) = x_1 x_2 - x_1 - x_2 + 1 = x_1 x_2 - (x_1 + x_2) + 1$
Подставляем известные значения $x_1 x_2 = -5$ и $x_1 + x_2 = 3$:
$y_1 \cdot y_2 = -5 - 3 + 1 = -7$

По теореме, обратной теореме Виета, если $y_1$ и $y_2$ — корни квадратного уравнения, то оно имеет вид $y^2 - (y_1 + y_2)y + y_1 y_2 = 0$. Подставив найденные значения суммы и произведения новых корней, получим:

$y^2 - (1)y + (-7) = 0$
$y^2 - y - 7 = 0$

Заменив переменную $y$ на привычную $x$, получаем искомое уравнение.

Ответ: $x^2 - x - 7 = 0$

Способ 2: Метод замены переменной

Пусть $y$ — корень нового, искомого уравнения. По условию, он на 1 меньше корня $x$ исходного уравнения. То есть, $y = x - 1$. Отсюда можно выразить корень исходного уравнения через корень нового: $x = y + 1$.

Так как $x$ является корнем уравнения $x^2 - 3x - 5 = 0$, мы можем подставить в него выражение $y + 1$ вместо $x$:

$(y + 1)^2 - 3(y + 1) - 5 = 0$

Теперь раскроем скобки и упростим полученное выражение:

$(y^2 + 2y + 1) - (3y + 3) - 5 = 0$
$y^2 + 2y + 1 - 3y - 3 - 5 = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$y^2 + (2y - 3y) + (1 - 3 - 5) = 0$
$y^2 - y - 7 = 0$

Это и есть искомое квадратное уравнение. Заменив переменную $y$ на $x$, получаем окончательный вид.

Ответ: $x^2 - x - 7 = 0$

930. Решите уравнение:

1) $\frac{x^2 - 7x}{x+1} = \frac{8}{x+1};$

2) $\frac{3x^2 + 4x}{x^2 - 9} = \frac{3 - 4x}{x^2 - 9};$

3) $\frac{4 - x}{4x - 3} = \frac{2x - 2}{7 - x};$

4) $\frac{1}{x+1} - \frac{1}{x-6} = \frac{7}{12};$

5) $\frac{63}{x^2 + 3x} - \frac{2}{x^2 - 3x} = \frac{7}{x};$

6) $\frac{2x}{x-2} + \frac{3}{x+4} = \frac{4x - 2}{(x+4)(x-2)};$

7) $\frac{1}{x^2 + 2x} - \frac{2}{x^2 - 4} = \frac{x+4}{5x(2-x)};$

8) $\frac{2}{x^2 - 2x + 1} - \frac{1}{x^3 - 1} = \frac{3}{x^2 + x + 1}.$

1) Исходное уравнение: $ \frac{x^2 - 7x}{x + 1} = \frac{8}{x + 1} $.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием, что знаменатель не равен нулю: $ x + 1 \neq 0 $, откуда $ x \neq -1 $.

Поскольку знаменатели дробей в обеих частях уравнения равны, мы можем приравнять их числители:

$ x^2 - 7x = 8 $

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$ x^2 - 7x - 8 = 0 $

Решим это уравнение с помощью теоремы Виета. Сумма корней равна $ 7 $, а их произведение равно $ -8 $. Подбором находим корни:

$ x_1 = 8 $

$ x_2 = -1 $

Теперь проверим корни на соответствие ОДЗ. Корень $ x = -1 $ не входит в область допустимых значений, поэтому он является посторонним. Корень $ x = 8 $ удовлетворяет условию $ x \neq -1 $.

Ответ: 8.

2) Исходное уравнение: $ \frac{3x^2 + 4x}{x^2 - 9} = \frac{3 - 4x}{x^2 - 9} $.

ОДЗ: $ x^2 - 9 \neq 0 \implies (x-3)(x+3) \neq 0 $, откуда $ x \neq 3 $ и $ x \neq -3 $.

Приравниваем числители, так как знаменатели равны:

$ 3x^2 + 4x = 3 - 4x $

Приводим к стандартному виду квадратного уравнения:

$ 3x^2 + 8x - 3 = 0 $

Решаем через дискриминант $ D = b^2 - 4ac $:

$ D = 8^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-3) = 64 + 36 = 100 = 10^2 $

Находим корни:

$ x_{1,2} = \frac{-8 \pm \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{-8 \pm 10}{6} $

$ x_1 = \frac{-8 + 10}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} $

$ x_2 = \frac{-8 - 10}{6} = \frac{-18}{6} = -3 $

Проверяем корни по ОДЗ. Корень $ x = -3 $ является посторонним. Корень $ x = \frac{1}{3} $ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $ \frac{1}{3} $.

3) Исходное уравнение: $ \frac{4 - x}{4x - 3} = \frac{2x - 2}{7 - x} $.

ОДЗ: $ 4x - 3 \neq 0 \implies x \neq \frac{3}{4} $ и $ 7 - x \neq 0 \implies x \neq 7 $.

Воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение):

$ (4 - x)(7 - x) = (2x - 2)(4x - 3) $

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$ 28 - 4x - 7x + x^2 = 8x^2 - 6x - 8x + 6 $

$ x^2 - 11x + 28 = 8x^2 - 14x + 6 $

Перенесем все члены в правую часть:

$ 8x^2 - x^2 - 14x + 11x + 6 - 28 = 0 $

$ 7x^2 - 3x - 22 = 0 $

Решаем через дискриминант:

$ D = (-3)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-22) = 9 + 616 = 625 = 25^2 $

Находим корни:

$ x_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{625}}{2 \cdot 7} = \frac{3 \pm 25}{14} $

$ x_1 = \frac{3 + 25}{14} = \frac{28}{14} = 2 $

$ x_2 = \frac{3 - 25}{14} = \frac{-22}{14} = -\frac{11}{7} $

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: 2; $ -\frac{11}{7} $.

4) Исходное уравнение: $ \frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x - 6} = \frac{7}{12} $.

ОДЗ: $ x + 1 \neq 0 \implies x \neq -1 $ и $ x - 6 \neq 0 \implies x \neq 6 $.

Приведем левую часть к общему знаменателю $ (x+1)(x-6) $:

$ \frac{(x - 6) - (x + 1)}{(x + 1)(x - 6)} = \frac{7}{12} $

$ \frac{x - 6 - x - 1}{x^2 - 6x + x - 6} = \frac{7}{12} $

$ \frac{-7}{x^2 - 5x - 6} = \frac{7}{12} $

Разделим обе части на 7:

$ \frac{-1}{x^2 - 5x - 6} = \frac{1}{12} $

По свойству пропорции:

$ x^2 - 5x - 6 = -12 $

$ x^2 - 5x + 6 = 0 $

По теореме Виета, сумма корней равна 5, произведение равно 6. Корни:

$ x_1 = 2 $, $ x_2 = 3 $

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: 2; 3.

5) Исходное уравнение: $ \frac{63}{x^2 + 3x} - \frac{2}{x^2 - 3x} = \frac{7}{x} $.

Разложим знаменатели на множители: $ \frac{63}{x(x + 3)} - \frac{2}{x(x - 3)} = \frac{7}{x} $.

ОДЗ: $ x \neq 0 $, $ x + 3 \neq 0 \implies x \neq -3 $, $ x - 3 \neq 0 \implies x \neq 3 $.

Так как $ x \neq 0 $, умножим обе части уравнения на $ x $:

$ \frac{63}{x + 3} - \frac{2}{x - 3} = 7 $

Приведем левую часть к общему знаменателю $ (x+3)(x-3) = x^2 - 9 $:

$ \frac{63(x - 3) - 2(x + 3)}{x^2 - 9} = 7 $

$ \frac{63x - 189 - 2x - 6}{x^2 - 9} = 7 $

$ \frac{61x - 195}{x^2 - 9} = 7 $

$ 61x - 195 = 7(x^2 - 9) $

$ 61x - 195 = 7x^2 - 63 $

$ 7x^2 - 61x + 132 = 0 $

Решаем через дискриминант:

$ D = (-61)^2 - 4 \cdot 7 \cdot 132 = 3721 - 3696 = 25 = 5^2 $

$ x_{1,2} = \frac{61 \pm 5}{14} $

$ x_1 = \frac{61 + 5}{14} = \frac{66}{14} = \frac{33}{7} $

$ x_2 = \frac{61 - 5}{14} = \frac{56}{14} = 4 $

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: 4; $ \frac{33}{7} $.

6) Исходное уравнение: $ \frac{2x}{x - 2} + \frac{3}{x + 4} = \frac{4x - 2}{(x + 4)(x - 2)} $.

ОДЗ: $ x - 2 \neq 0 \implies x \neq 2 $ и $ x + 4 \neq 0 \implies x \neq -4 $.

Общий знаменатель $ (x - 2)(x + 4) $. Умножим обе части уравнения на него:

$ 2x(x + 4) + 3(x - 2) = 4x - 2 $

$ 2x^2 + 8x + 3x - 6 = 4x - 2 $

$ 2x^2 + 11x - 6 = 4x - 2 $

$ 2x^2 + 7x - 4 = 0 $

Решаем через дискриминант:

$ D = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-4) = 49 + 32 = 81 = 9^2 $

$ x_{1,2} = \frac{-7 \pm 9}{4} $

$ x_1 = \frac{-7 + 9}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $

$ x_2 = \frac{-7 - 9}{4} = \frac{-16}{4} = -4 $

Проверяем по ОДЗ: корень $ x = -4 $ является посторонним.

Ответ: $ \frac{1}{2} $.

7) Исходное уравнение: $ \frac{1}{x^2 + 2x} - \frac{2}{x^2 - 4} = \frac{x + 4}{5x(2 - x)} $.

Разложим знаменатели на множители и преобразуем правую часть: $ \frac{1}{x(x + 2)} - \frac{2}{(x - 2)(x + 2)} = \frac{x + 4}{-5x(x - 2)} $.

ОДЗ: $ x \neq 0 $, $ x \neq -2 $, $ x \neq 2 $.

Общий знаменатель $ 5x(x - 2)(x + 2) $. Умножим на него обе части уравнения:

$ 1 \cdot 5(x - 2) - 2 \cdot 5x = -(x + 4)(x + 2) $

$ 5x - 10 - 10x = -(x^2 + 2x + 4x + 8) $

$ -5x - 10 = -(x^2 + 6x + 8) $

$ -5x - 10 = -x^2 - 6x - 8 $

$ x^2 - 5x + 6x - 10 + 8 = 0 $

$ x^2 + x - 2 = 0 $

По теореме Виета, сумма корней равна -1, произведение равно -2. Корни:

$ x_1 = 1 $, $ x_2 = -2 $

Проверяем по ОДЗ: корень $ x = -2 $ является посторонним.

Ответ: 1.

8) Исходное уравнение: $ \frac{2}{x^2 - 2x + 1} - \frac{1}{x^3 - 1} = \frac{3}{x^2 + x + 1} $.

Разложим знаменатели на множители, используя формулы сокращенного умножения (квадрат разности и разность кубов):

$ x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2 $

$ x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1) $

Уравнение принимает вид: $ \frac{2}{(x - 1)^2} - \frac{1}{(x - 1)(x^2 + x + 1)} = \frac{3}{x^2 + x + 1} $.

ОДЗ: $ x-1 \neq 0 \implies x \neq 1 $. (Выражение $ x^2 + x + 1 $ всегда положительно).

Общий знаменатель $ (x-1)^2(x^2+x+1) $. Умножим на него обе части:

$ 2(x^2 + x + 1) - 1(x - 1) = 3(x-1)^2 $

$ 2x^2 + 2x + 2 - x + 1 = 3(x^2 - 2x + 1) $

$ 2x^2 + x + 3 = 3x^2 - 6x + 3 $

Перенесем все в правую часть:

$ 3x^2 - 2x^2 - 6x - x + 3 - 3 = 0 $

$ x^2 - 7x = 0 $

Вынесем $ x $ за скобки:

$ x(x - 7) = 0 $

Корни: $ x_1 = 0 $ и $ x_2 = 7 $.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: 0; 7.

931. Решите уравнение:

1) $ \frac{x-1}{x+5} + \frac{x+5}{x-1} = \frac{10}{3}; $

2) $ \frac{x^2 - 3x + 6}{x} + \frac{2x}{x^2 - 3x + 6} = 3; $

3) $ \frac{x^2}{(3x-1)^2} - \frac{4x}{3x-1} - 5 = 0; $

4) $ \frac{24}{x^2+2x-8} - \frac{15}{x^2+2x-3} = 2. $

1) $\frac{x-1}{x+5} + \frac{x+5}{x-1} = \frac{10}{3}$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x+5 \neq 0$ и $x-1 \neq 0$, то есть $x \neq -5$ и $x \neq 1$.
Сделаем замену переменной. Пусть $y = \frac{x-1}{x+5}$. Тогда $\frac{x+5}{x-1} = \frac{1}{y}$.
Уравнение принимает вид:
$y + \frac{1}{y} = \frac{10}{3}$
Умножим обе части на $3y$ (при $y \neq 0$):
$3y^2 + 3 = 10y$
$3y^2 - 10y + 3 = 0$
Это квадратное уравнение относительно $y$. Найдем его корни.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64$.
$y_1 = \frac{10 - \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 - 8}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
$y_2 = \frac{10 + \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 + 8}{6} = \frac{18}{6} = 3$
Теперь вернемся к исходной переменной $x$.
Случай 1: $y = \frac{1}{3}$
$\frac{x-1}{x+5} = \frac{1}{3}$
$3(x-1) = 1(x+5)$
$3x - 3 = x + 5$
$2x = 8$
$x_1 = 4$
Корень $x=4$ удовлетворяет ОДЗ.
Случай 2: $y = 3$
$\frac{x-1}{x+5} = 3$
$x-1 = 3(x+5)$
$x-1 = 3x + 15$
$-16 = 2x$
$x_2 = -8$
Корень $x=-8$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $x=4, x=-8$.

2) $\frac{x^2 - 3x + 6}{x} + \frac{2x}{x^2 - 3x + 6} = 3$

ОДЗ: $x \neq 0$. Знаменатель $x^2 - 3x + 6$ не равен нулю, так как его дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 9 - 24 = -15 < 0$, и ветви параболы направлены вверх.
Сделаем замену. Пусть $y = \frac{x^2 - 3x + 6}{x}$. Тогда $\frac{x}{x^2 - 3x + 6} = \frac{1}{y}$, и $\frac{2x}{x^2 - 3x + 6} = \frac{2}{y}$.
Уравнение принимает вид:
$y + \frac{2}{y} = 3$
Умножим обе части на $y$ (при $y \neq 0$):
$y^2 + 2 = 3y$
$y^2 - 3y + 2 = 0$
По теореме Виета, корни уравнения $y_1=1, y_2=2$.
Вернемся к переменной $x$.
Случай 1: $y = 1$
$\frac{x^2 - 3x + 6}{x} = 1$
$x^2 - 3x + 6 = x$
$x^2 - 4x + 6 = 0$
Дискриминант $D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 16 - 24 = -8 < 0$. Действительных корней нет.
Случай 2: $y = 2$
$\frac{x^2 - 3x + 6}{x} = 2$
$x^2 - 3x + 6 = 2x$
$x^2 - 5x + 6 = 0$
По теореме Виета, корни $x_1=2, x_2=3$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 0$).

Ответ: $x=2, x=3$.

3) $\frac{x^2}{(3x-1)^2} - \frac{4x}{3x-1} - 5 = 0$

ОДЗ: $3x-1 \neq 0$, то есть $x \neq \frac{1}{3}$.
Уравнение можно переписать в виде: $(\frac{x}{3x-1})^2 - 4(\frac{x}{3x-1}) - 5 = 0$.
Сделаем замену. Пусть $y = \frac{x}{3x-1}$.
$y^2 - 4y - 5 = 0$
По теореме Виета, корни уравнения $y_1 = 5, y_2 = -1$.
Вернемся к переменной $x$.
Случай 1: $y = 5$
$\frac{x}{3x-1} = 5$
$x = 5(3x-1)$
$x = 15x - 5$
$14x = 5$
$x_1 = \frac{5}{14}$
Корень удовлетворяет ОДЗ.
Случай 2: $y = -1$
$\frac{x}{3x-1} = -1$
$x = -(3x-1)$
$x = -3x + 1$
$4x = 1$
$x_2 = \frac{1}{4}$
Корень удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $x=\frac{5}{14}, x=\frac{1}{4}$.

4) $\frac{24}{x^2 + 2x - 8} - \frac{15}{x^2 + 2x - 3} = 2$

Заметим, что в обоих знаменателях есть выражение $x^2 + 2x$. Сделаем замену. Пусть $y = x^2 + 2x$.
Уравнение примет вид:
$\frac{24}{y - 8} - \frac{15}{y - 3} = 2$
ОДЗ для $y$: $y \neq 8, y \neq 3$.
Приведем левую часть к общему знаменателю:
$\frac{24(y-3) - 15(y-8)}{(y-8)(y-3)} = 2$
$\frac{24y - 72 - 15y + 120}{(y-8)(y-3)} = 2$
$\frac{9y + 48}{y^2 - 11y + 24} = 2$
$9y + 48 = 2(y^2 - 11y + 24)$
$9y + 48 = 2y^2 - 22y + 48$
$0 = 2y^2 - 31y$
$y(2y - 31) = 0$
Отсюда $y_1 = 0$ или $y_2 = \frac{31}{2}$. Оба значения удовлетворяют ОДЗ для $y$.
Вернемся к переменной $x$.
Случай 1: $y = 0$
$x^2 + 2x = 0$
$x(x+2) = 0$
$x_1 = 0, x_2 = -2$
Случай 2: $y = \frac{31}{2}$
$x^2 + 2x = \frac{31}{2}$
$2x^2 + 4x - 31 = 0$
Найдем корни через дискриминант: $D = 4^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-31) = 16 + 248 = 264$.
$\sqrt{D} = \sqrt{264} = \sqrt{4 \cdot 66} = 2\sqrt{66}$.
$x = \frac{-4 \pm 2\sqrt{66}}{4} = \frac{-2 \pm \sqrt{66}}{2}$.
$x_3 = \frac{-2 + \sqrt{66}}{2}, x_4 = \frac{-2 - \sqrt{66}}{2}$.
Проверим все корни по исходному ОДЗ: $x^2 + 2x - 8 \neq 0 \implies (x+4)(x-2) \neq 0 \implies x \neq -4, x \neq 2$.
$x^2 + 2x - 3 \neq 0 \implies (x+3)(x-1) \neq 0 \implies x \neq -3, x \neq 1$.
Все четыре найденных корня ($0, -2, \frac{-2 + \sqrt{66}}{2}, \frac{-2 - \sqrt{66}}{2}$) удовлетворяют этим условиям.

Ответ: $x=0, x=-2, x=\frac{-2 + \sqrt{66}}{2}, x=\frac{-2 - \sqrt{66}}{2}$.

932. При каких значениях $a$ уравнение $\frac{x^2 - 2ax + 3}{x - 2} = 0$ имеет единственный корень?

Исходное уравнение $\frac{x^2 - 2ax + 3}{x - 2} = 0$ является рациональным. Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Это равносильно системе уравнений:

$ \begin{cases} x^2 - 2ax + 3 = 0 \\ x - 2 \neq 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x^2 - 2ax + 3 = 0 \\ x \neq 2 \end{cases} $

Таким образом, нам нужно найти такие значения параметра $a$, при которых квадратное уравнение $x^2 - 2ax + 3 = 0$ имеет ровно один корень, не равный 2. Это возможно в двух случаях.

Случай 1: Квадратное уравнение имеет один корень (дискриминант равен нулю), и этот корень не равен 2.

Найдем дискриминант $D$ квадратного уравнения $x^2 - 2ax + 3 = 0$. Коэффициенты: $A=1$, $B=-2a$, $C=3$.

$D = B^2 - 4AC = (-2a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4a^2 - 12$.

Уравнение имеет один корень при $D=0$:

$4a^2 - 12 = 0$

$4a^2 = 12$

$a^2 = 3$

$a = \sqrt{3}$ или $a = -\sqrt{3}$.

Теперь найдем корень уравнения для каждого из этих значений $a$ и проверим, не равен ли он 2. Корень уравнения при $D=0$ вычисляется по формуле $x = -\frac{B}{2A}$.

$x = -\frac{-2a}{2 \cdot 1} = a$.

Если $a = \sqrt{3}$, то корень $x = \sqrt{3}$. Так как $\sqrt{3} \neq 2$, это значение $a$ подходит.

Если $a = -\sqrt{3}$, то корень $x = -\sqrt{3}$. Так как $-\sqrt{3} \neq 2$, это значение $a$ тоже подходит.

Случай 2: Квадратное уравнение имеет два различных корня (дискриминант больше нуля), но один из них равен 2.

Уравнение имеет два различных корня при $D > 0$, то есть $4a^2 - 12 > 0$, что эквивалентно $a^2 > 3$.

Один из корней должен быть равен 2. Подставим $x=2$ в квадратное уравнение $x^2 - 2ax + 3 = 0$, чтобы найти соответствующее значение $a$:

$2^2 - 2a \cdot 2 + 3 = 0$

$4 - 4a + 3 = 0$

$7 - 4a = 0$

$4a = 7$

$a = \frac{7}{4}$.

Проверим, выполняется ли для этого значения $a$ условие $D > 0$ (или $a^2 > 3$):

$a^2 = (\frac{7}{4})^2 = \frac{49}{16}$.

Сравним $\frac{49}{16}$ и $3$: $\frac{49}{16} > \frac{48}{16} = 3$. Условие выполняется, значит, при $a=\frac{7}{4}$ уравнение $x^2 - 2ax + 3 = 0$ имеет два различных корня. Один из них, как мы установили, равен 2, а другой корень будет единственным решением исходного уравнения. (Для проверки, найдем второй корень по теореме Виета: $x_1 \cdot x_2 = 3 \implies 2 \cdot x_2 = 3 \implies x_2 = \frac{3}{2}$. Так как $\frac{3}{2} \neq 2$, второй корень не совпадает с первым, и исходное уравнение имеет единственный корень $x = \frac{3}{2}$).

Следовательно, значение $a=\frac{7}{4}$ также является решением задачи.

Объединяя результаты обоих случаев, получаем все значения $a$, при которых исходное уравнение имеет единственный корень.

Ответ: $a \in \{-\sqrt{3}, \sqrt{3}, \frac{7}{4}\}$.

933. Верно ли утверждение (ответ обоснуйте):

1) если число $m$ является корнем квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$, то число $-m$ является корнем уравнения $ax^2 - bx + c = 0$;

2) если число $m$ является корнем квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$, где $c \ne 0$, то число $\frac{1}{m}$ является корнем уравнения $cx^2 + bx + a = 0$?

1) если число $m$ является корнем квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$, то число $-m$ является корнем уравнения $ax^2 - bx + c = 0$;

Да, утверждение верно. По условию, число $m$ является корнем уравнения $ax^2 + bx + c = 0$. Это означает, что при подстановке $x = m$ в уравнение, мы получаем верное равенство: $am^2 + bm + c = 0$. Теперь проверим, является ли число $-m$ корнем уравнения $ax^2 - bx + c = 0$. Для этого подставим $x = -m$ в это уравнение: $a(-m)^2 - b(-m) + c = a(m^2) + b \cdot m + c = am^2 + bm + c$. Так как из условия мы знаем, что $am^2 + bm + c = 0$, то и полученное выражение равно нулю. Следовательно, $-m$ является корнем уравнения $ax^2 - bx + c = 0$.

Ответ: да, утверждение верно.

2) если число $m$ является корнем квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$, где $c \ne 0$, то число $\frac{1}{m}$ является корнем уравнения $cx^2 + bx + a = 0$?

Да, утверждение верно. По условию, число $m$ является корнем уравнения $ax^2 + bx + c = 0$. Это означает, что выполняется равенство: $am^2 + bm + c = 0$. Поскольку $c \ne 0$, то $m \ne 0$. Если бы $m = 0$ было корнем, то из равенства $am^2 + bm + c = 0$ следовало бы, что $a \cdot 0^2 + b \cdot 0 + c = 0$, то есть $c = 0$, что противоречит условию. Раз $m \ne 0$, то выражение $\frac{1}{m}$ имеет смысл. Теперь проверим, является ли число $\frac{1}{m}$ корнем уравнения $cx^2 + bx + a = 0$. Подставим $x = \frac{1}{m}$ в это уравнение: $c\left(\frac{1}{m}\right)^2 + b\left(\frac{1}{m}\right) + a = c \cdot \frac{1}{m^2} + \frac{b}{m} + a$. Приведем это выражение к общему знаменателю $m^2$: $\frac{c}{m^2} + \frac{bm}{m^2} + \frac{am^2}{m^2} = \frac{c + bm + am^2}{m^2} = \frac{am^2 + bm + c}{m^2}$. Из условия мы знаем, что числитель этой дроби $am^2 + bm + c = 0$. Поскольку $m \ne 0$, то и $m^2 \ne 0$. Таким образом, значение всего выражения равно $\frac{0}{m^2} = 0$. Следовательно, $\frac{1}{m}$ является корнем уравнения $cx^2 + bx + a = 0$.

Ответ: да, утверждение верно.

934. Найдите все целые значения $b$, при которых имеет целые корни урав-нение:

1) $x^2 + bx - 6 = 0;$

2) $x^2 + bx + 21 = 0.$

Для решения задачи воспользуемся теоремой Виета для приведенного квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$. Если $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения, то справедливы соотношения:

$x_1 + x_2 = -p$

$x_1 \cdot x_2 = q$

По условию, параметр $b$ и корни уравнения являются целыми числами. Если корни $x_1, x_2$ и коэффициент $b$ — целые, а свободный член ($-6$ или $21$) также целый, то из теоремы Виета следует, что целочисленные корни $x_1$ и $x_2$ должны быть делителями свободного члена.

Пусть $x_1$ и $x_2$ — целые корни данного уравнения. Согласно теореме Виета:

$x_1 + x_2 = -b$

$x_1 \cdot x_2 = -6$

Из второго уравнения следует, что корни $x_1$ и $x_2$ являются парой целочисленных делителей числа -6. Из первого уравнения, так как $x_1$ и $x_2$ — целые, их сумма $x_1+x_2$ также будет целым числом, а значит и $b = -(x_1 + x_2)$ будет целым, что соответствует условию задачи. Найдем все пары целых делителей числа -6 и вычислим для них $b$.

Возможные пары делителей $(x_1, x_2)$ и соответствующие значения $b$:

• Если пара корней $(1, -6)$, то $b = -(1 + (-6)) = -(-5) = 5$.
• Если пара корней $(-1, 6)$, то $b = -(-1 + 6) = -(5) = -5$.
• Если пара корней $(2, -3)$, то $b = -(2 + (-3)) = -(-1) = 1$.
• Если пара корней $(-2, 3)$, то $b = -(-2 + 3) = -(1) = -1$.

Все остальные пары, такие как $(6, -1)$ или $(-6, 1)$, являются перестановками уже рассмотренных и дадут те же самые значения для $b$.

Ответ: $b \in \{-5, -1, 1, 5\}$.

Аналогично, пусть $x_1$ и $x_2$ — целые корни данного уравнения. По теореме Виета:

$x_1 + x_2 = -b$

$x_1 \cdot x_2 = 21$

Корни $x_1$ и $x_2$ должны быть парой целочисленных делителей числа 21. Найдем все такие пары и вычислим для них $b = -(x_1 + x_2)$.

Возможные пары делителей $(x_1, x_2)$ и соответствующие значения $b$:

• Если пара корней $(1, 21)$, то $b = -(1 + 21) = -22$.
• Если пара корней $(-1, -21)$, то $b = -(-1 + (-21)) = -(-22) = 22$.
• Если пара корней $(3, 7)$, то $b = -(3 + 7) = -10$.
• Если пара корней $(-3, -7)$, то $b = -(-3 + (-7)) = -(-10) = 10$.

Это все возможные целые значения $b$, при которых уравнение имеет целые корни.

Ответ: $b \in \{-22, -10, 10, 22\}$.

935. Известно, что $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $x^2 - (2a - 5)x + a^2 - 7 = 0$.

При каком значении $a$ выполняется равенство $2x_1 + 2x_2 = x_1x_2$?

Дано квадратное уравнение $x^2 - (2a - 5)x + a^2 - 7 = 0$, где $x_1$ и $x_2$ — его корни. Требуется найти значение параметра $a$, при котором выполняется равенство $2x_1 + 2x_2 = x_1x_2$.

Для решения задачи воспользуемся теоремой Виета. Для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$ сумма корней $x_1 + x_2 = -p$, а произведение корней $x_1 x_2 = q$.

В нашем уравнении коэффициенты равны:

$p = -(2a - 5)$

$q = a^2 - 7$

Согласно теореме Виета, имеем:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -(-(2a - 5)) = 2a - 5$.

Произведение корней: $x_1 x_2 = a^2 - 7$.

Теперь подставим эти выражения в заданное условие $2x_1 + 2x_2 = x_1x_2$. Вынесем 2 за скобки в левой части: $2(x_1 + x_2) = x_1x_2$.

Заменяем сумму и произведение корней на выражения с параметром $a$:

$2(2a - 5) = a^2 - 7$

Решим полученное уравнение относительно $a$:

$4a - 10 = a^2 - 7$

$a^2 - 4a - 7 + 10 = 0$

$a^2 - 4a + 3 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $a$. Его можно решить разложением на множители. Найдем два числа, произведение которых равно 3, а сумма равна -4. Это числа -1 и -3. Тогда:

$(a - 1)(a - 3) = 0$

Отсюда получаем два возможных значения для $a$: $a_1 = 1$ и $a_2 = 3$.

Необходимо также учесть, что исходное квадратное уравнение должно иметь действительные корни. Условием существования действительных корней является неотрицательность дискриминанта ($D \ge 0$).

Найдем дискриминант исходного уравнения $x^2 - (2a - 5)x + a^2 - 7 = 0$:

$D = (-(2a - 5))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (a^2 - 7)$

$D = (2a - 5)^2 - 4(a^2 - 7)$

$D = (4a^2 - 20a + 25) - (4a^2 - 28)$

$D = 4a^2 - 20a + 25 - 4a^2 + 28$

$D = -20a + 53$

Условие $D \ge 0$ принимает вид:

$-20a + 53 \ge 0$

$53 \ge 20a$

$a \le \frac{53}{20}$

$a \le 2.65$

Теперь проверим, удовлетворяют ли найденные значения $a$ этому условию.

1. При $a = 1$: $1 \le 2.65$. Это верное неравенство, следовательно, $a = 1$ является решением.

2. При $a = 3$: $3 \le 2.65$. Это неверное неравенство. Следовательно, при $a = 3$ исходное уравнение не имеет действительных корней, и это значение не является решением задачи.

Таким образом, единственное подходящее значение параметра — это $a=1$.

Ответ: 1.

936. При каком значении $a$ произведение корней уравнения $x^2 + (a+9)x + a^2 + 2a = 0$ равно 15?

Для решения данной задачи воспользуемся теоремой Виета для приведенного квадратного уравнения. Для уравнения вида $x^2 + px + q = 0$ произведение его корней $x_1$ и $x_2$ равно свободному члену $q$, то есть $x_1 \cdot x_2 = q$.

Исходное уравнение $x^2 + (a + 9)x + a^2 + 2a = 0$ является приведенным, так как коэффициент при $x^2$ равен 1. Свободный член в этом уравнении равен $a^2 + 2a$.

По условию задачи, произведение корней должно быть равно 15. Применяя теорему Виета, получаем:

$x_1 \cdot x_2 = a^2 + 2a = 15$

Мы получили квадратное уравнение относительно параметра $a$:

$a^2 + 2a - 15 = 0$

Решим это уравнение. Можно найти его корни, например, с помощью дискриминанта:

$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64 = 8^2$

Корни уравнения для $a$:

$a_1 = \frac{-2 + 8}{2} = \frac{6}{2} = 3$

$a_2 = \frac{-2 - 8}{2} = \frac{-10}{2} = -5$

Теперь необходимо выполнить проверку. Теорема Виета применима, если у квадратного уравнения существуют корни. В стандартном курсе алгебры подразумевается, что корни должны быть действительными. Условием существования действительных корней является неотрицательность дискриминанта ($D \geq 0$) исходного уравнения.

Найдем дискриминант исходного уравнения $x^2 + (a + 9)x + a^2 + 2a = 0$:

$D_x = (a + 9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (a^2 + 2a) = (a^2 + 18a + 81) - (4a^2 + 8a) = -3a^2 + 10a + 81$

Проверим знак $D_x$ для каждого найденного значения $a$:

1. При $a = 3$:

$D_x = -3(3)^2 + 10(3) + 81 = -3 \cdot 9 + 30 + 81 = -27 + 30 + 81 = 84$

Так как $D_x = 84 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Следовательно, значение $a = 3$ подходит.

2. При $a = -5$:

$D_x = -3(-5)^2 + 10(-5) + 81 = -3 \cdot 25 - 50 + 81 = -75 - 50 + 81 = -44$

Так как $D_x = -44 < 0$, уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, значение $a = -5$ не подходит.

Таким образом, единственное значение параметра $a$, которое удовлетворяет условию, это 3.

Ответ: 3

937. Автобус должен был проехать 255 км. Проехав $ \frac{7}{17} $ пути, он остановился на 1 ч, а затем продолжил движение со скоростью на 5 км/ч меньше начальной. Найдите начальную скорость автобуса, если в пункт назначения он прибыл через 9 ч после выезда.

Обозначим начальную скорость автобуса как $v$ км/ч. Согласно условию, на втором участке пути его скорость была $v - 5$ км/ч.

Сначала найдем расстояние, которое автобус проехал до остановки. Это $\frac{7}{17}$ от общего пути в 255 км:

$S_1 = 255 \cdot \frac{7}{17} = 15 \cdot 7 = 105$ км.

Теперь найдем оставшееся расстояние, которое автобус проехал после остановки:

$S_2 = 255 - 105 = 150$ км.

Общее время поездки составило 9 часов, из которых 1 час ушел на остановку. Значит, чистое время движения автобуса равно $9 - 1 = 8$ часов.

Время, затраченное на первый участок, равно $t_1 = \frac{S_1}{v} = \frac{105}{v}$ ч. Время, затраченное на второй участок, равно $t_2 = \frac{S_2}{v-5} = \frac{150}{v-5}$ ч.

Сумма времени движения на двух участках равна общему времени движения. Составим и решим уравнение:

$t_1 + t_2 = 8$

$\frac{105}{v} + \frac{150}{v-5} = 8$

Приведем уравнение к общему знаменателю $v(v-5)$. Учтем, что скорость не может быть отрицательной или равной нулю, а также скорость на втором участке $v-5$ должна быть положительной, поэтому $v > 5$.

$105(v-5) + 150v = 8v(v-5)$

$105v - 525 + 150v = 8v^2 - 40v$

$255v - 525 = 8v^2 - 40v$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$8v^2 - 40v - 255v + 525 = 0$

$8v^2 - 295v + 525 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-295)^2 - 4 \cdot 8 \cdot 525 = 87025 - 16800 = 70225$

Найдем корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{70225} = 265$.

Теперь найдем корни уравнения для скорости $v$:

$v_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{295 + 265}{2 \cdot 8} = \frac{560}{16} = 35$

$v_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{295 - 265}{2 \cdot 8} = \frac{30}{16} = 1.875$

Проверим полученные значения. Корень $v_2 = 1.875$ не подходит по условию $v > 5$, так как при такой начальной скорости скорость на втором участке ($v-5$) была бы отрицательной, что физически невозможно.

Корень $v_1 = 35$ удовлетворяет условию $v > 5$. Следовательно, это и есть искомая начальная скорость автобуса.

Ответ: 35 км/ч.

938. В слитке сплава меди и цинка содержится 20 кг цинка. К этому слитку добавили 3 кг меди и 4 кг цинка. Процентное содержание меди в полученном сплаве на 5 % больше, чем в исходном. Сколько килограммов меди содержал исходный сплав?

Пусть в исходном слитке содержалось $x$ кг меди. Согласно условию, в нем было $20$ кг цинка. Тогда общая масса исходного слитка составляла $(x + 20)$ кг. Массовая доля меди в исходном слитке равна $\frac{x}{x + 20}$.

К этому слитку добавили $3$ кг меди и $4$ кг цинка. Масса меди в новом слитке стала $(x + 3)$ кг. Масса цинка в новом слитке стала $(20 + 4) = 24$ кг. Общая масса нового слитка стала $(x + 20) + 3 + 4 = (x + 27)$ кг. Массовая доля меди в полученном слитке равна $\frac{x + 3}{x + 27}$.

Известно, что процентное содержание меди в полученном сплаве на $5\%$ больше, чем в исходном. Переведем $5\%$ в десятичную дробь: $5\% = 0.05 = \frac{5}{100} = \frac{1}{20}$. Теперь мы можем составить уравнение, приравняв разницу массовых долей к этой величине:

$\frac{x + 3}{x + 27} - \frac{x}{x + 20} = \frac{1}{20}$

Приведем дроби в левой части уравнения к общему знаменателю $(x + 27)(x + 20)$:

$\frac{(x + 3)(x + 20) - x(x + 27)}{(x + 27)(x + 20)} = \frac{1}{20}$

Раскроем скобки в числителе и знаменателе левой части:

$\frac{(x^2 + 20x + 3x + 60) - (x^2 + 27x)}{x^2 + 20x + 27x + 540} = \frac{1}{20}$

Упростим выражение, приведя подобные слагаемые:

$\frac{x^2 + 23x + 60 - x^2 - 27x}{x^2 + 47x + 540} = \frac{1}{20}$

$\frac{60 - 4x}{x^2 + 47x + 540} = \frac{1}{20}$

Воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение):

$20 \cdot (60 - 4x) = 1 \cdot (x^2 + 47x + 540)$

$1200 - 80x = x^2 + 47x + 540$

Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + 47x + 80x + 540 - 1200 = 0$

$x^2 + 127x - 660 = 0$

Решим это уравнение. Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 127^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-660) = 16129 + 2640 = 18769$

Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{18769} = 137$.

Найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-127 + 137}{2} = \frac{10}{2} = 5$

$x_2 = \frac{-127 - 137}{2} = \frac{-264}{2} = -132$

Так как масса $x$ не может быть отрицательной величиной, корень $x_2 = -132$ не имеет физического смысла в данной задаче. Следовательно, масса меди в исходном сплаве составляет $5$ кг.

Ответ: $5$ кг.