Страница 225 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

907. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:

1) $\frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{2}+1}$;

2) $\frac{2}{\sqrt{10}+\sqrt{5}-\sqrt{3}}$.

1) Чтобы освободиться от иррациональности в знаменателе дроби $ \frac{1}{\sqrt{6} + \sqrt{2} + 1} $, необходимо последовательно применить формулу разности квадратов $ (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 $. Сначала сгруппируем слагаемые в знаменателе как $ \sqrt{6} + (\sqrt{2} + 1) $ и умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $ \sqrt{6} - (\sqrt{2} + 1) $.

$ \frac{1}{\sqrt{6} + \sqrt{2} + 1} = \frac{1}{\sqrt{6} + (\sqrt{2} + 1)} \cdot \frac{\sqrt{6} - (\sqrt{2} + 1)}{\sqrt{6} - (\sqrt{2} + 1)} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2} - 1}{(\sqrt{6})^2 - (\sqrt{2} + 1)^2} $

Упростим знаменатель:

$ (\sqrt{6})^2 - (\sqrt{2} + 1)^2 = 6 - ((\sqrt{2})^2 + 2\sqrt{2} \cdot 1 + 1^2) = 6 - (2 + 2\sqrt{2} + 1) = 6 - (3 + 2\sqrt{2}) = 3 - 2\sqrt{2} $

Получим дробь: $ \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2} - 1}{3 - 2\sqrt{2}} $.

Теперь в знаменателе осталась иррациональность. Чтобы от нее избавиться, умножим числитель и знаменатель на сопряженное к $ 3 - 2\sqrt{2} $ выражение, то есть на $ 3 + 2\sqrt{2} $.

$ \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2} - 1}{3 - 2\sqrt{2}} \cdot \frac{3 + 2\sqrt{2}}{3 + 2\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{6} - \sqrt{2} - 1)(3 + 2\sqrt{2})}{(3 - 2\sqrt{2})(3 + 2\sqrt{2})} $

Вычислим новый знаменатель:

$ (3 - 2\sqrt{2})(3 + 2\sqrt{2}) = 3^2 - (2\sqrt{2})^2 = 9 - (4 \cdot 2) = 9 - 8 = 1 $

Вычислим новый числитель, раскрыв скобки:

$ (\sqrt{6} - \sqrt{2} - 1)(3 + 2\sqrt{2}) = \sqrt{6}(3 + 2\sqrt{2}) - \sqrt{2}(3 + 2\sqrt{2}) - 1(3 + 2\sqrt{2}) $

$ = 3\sqrt{6} + 2\sqrt{12} - 3\sqrt{2} - 2(\sqrt{2})^2 - 3 - 2\sqrt{2} $

$ = 3\sqrt{6} + 2 \cdot 2\sqrt{3} - 3\sqrt{2} - 4 - 3 - 2\sqrt{2} $

Соберем подобные слагаемые:

$ = 3\sqrt{6} + 4\sqrt{3} - (3\sqrt{2} + 2\sqrt{2}) - (4+3) = 3\sqrt{6} + 4\sqrt{3} - 5\sqrt{2} - 7 $

Таким образом, исходная дробь равна $ \frac{3\sqrt{6} + 4\sqrt{3} - 5\sqrt{2} - 7}{1} $.

Ответ: $ 3\sqrt{6} + 4\sqrt{3} - 5\sqrt{2} - 7 $.

2) Чтобы освободиться от иррациональности в знаменателе дроби $ \frac{2}{\sqrt{10} + \sqrt{5} - \sqrt{3}} $, сгруппируем слагаемые в знаменателе как $ \sqrt{10} + (\sqrt{5} - \sqrt{3}) $ и умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $ \sqrt{10} - (\sqrt{5} - \sqrt{3}) $.

$ \frac{2}{\sqrt{10} + (\sqrt{5} - \sqrt{3})} \cdot \frac{\sqrt{10} - (\sqrt{5} - \sqrt{3})}{\sqrt{10} - (\sqrt{5} - \sqrt{3})} = \frac{2(\sqrt{10} - \sqrt{5} + \sqrt{3})}{(\sqrt{10})^2 - (\sqrt{5} - \sqrt{3})^2} $

Упростим знаменатель:

$ (\sqrt{10})^2 - (\sqrt{5} - \sqrt{3})^2 = 10 - ((\sqrt{5})^2 - 2\sqrt{5}\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2) = 10 - (5 - 2\sqrt{15} + 3) = 10 - (8 - 2\sqrt{15}) = 2 + 2\sqrt{15} $

Получим дробь: $ \frac{2(\sqrt{10} - \sqrt{5} + \sqrt{3})}{2 + 2\sqrt{15}} = \frac{2(\sqrt{10} - \sqrt{5} + \sqrt{3})}{2(1 + \sqrt{15})} = \frac{\sqrt{10} - \sqrt{5} + \sqrt{3}}{1 + \sqrt{15}} $.

Теперь нужно избавиться от иррациональности в новом знаменателе. Для этого умножим числитель и знаменатель на сопряженное к $ 1 + \sqrt{15} $ выражение, то есть на $ \sqrt{15} - 1 $.

$ \frac{\sqrt{10} - \sqrt{5} + \sqrt{3}}{1 + \sqrt{15}} \cdot \frac{\sqrt{15} - 1}{\sqrt{15} - 1} = \frac{(\sqrt{10} - \sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{15} - 1)}{(1 + \sqrt{15})(\sqrt{15} - 1)} $

Вычислим новый знаменатель:

$ (1 + \sqrt{15})(\sqrt{15} - 1) = (\sqrt{15})^2 - 1^2 = 15 - 1 = 14 $

Вычислим новый числитель:

$ (\sqrt{10} - \sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{15} - 1) = \sqrt{10}\sqrt{15} - \sqrt{10} - \sqrt{5}\sqrt{15} + \sqrt{5} + \sqrt{3}\sqrt{15} - \sqrt{3} $

$ = \sqrt{150} - \sqrt{10} - \sqrt{75} + \sqrt{5} + \sqrt{45} - \sqrt{3} $

Упростим корни: $ \sqrt{150} = \sqrt{25 \cdot 6} = 5\sqrt{6} $, $ \sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3} $, $ \sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5} $.

Подставим упрощенные значения в числитель:

$ 5\sqrt{6} - \sqrt{10} - 5\sqrt{3} + \sqrt{5} + 3\sqrt{5} - \sqrt{3} $

Сгруппируем подобные слагаемые:

$ 5\sqrt{6} - \sqrt{10} + (\sqrt{5} + 3\sqrt{5}) + (-5\sqrt{3} - \sqrt{3}) = 5\sqrt{6} - \sqrt{10} + 4\sqrt{5} - 6\sqrt{3} $

Таким образом, исходная дробь равна $ \frac{4\sqrt{5} + 5\sqrt{6} - 6\sqrt{3} - \sqrt{10}}{14} $.

Ответ: $ \frac{4\sqrt{5} + 5\sqrt{6} - 6\sqrt{3} - \sqrt{10}}{14} $.

908. Найдите значение выражения

1) $\frac{5}{4 - 3\sqrt{2}} - \frac{5}{4 + 3\sqrt{2}}$

2) $\frac{1}{\sqrt{4 + \sqrt{15}} + 1} - \frac{1}{\sqrt{4 + \sqrt{15}} - 1}$

3) $(\sqrt{5 - 2\sqrt{6}} + \sqrt{5 + 2\sqrt{6}})^2$

1) Чтобы найти значение выражения $\frac{5}{4 - 3\sqrt{2}} - \frac{5}{4 + 3\sqrt{2}}$, приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель равен произведению знаменателей $(4 - 3\sqrt{2})(4 + 3\sqrt{2})$. Используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$, получаем: $(4 - 3\sqrt{2})(4 + 3\sqrt{2}) = 4^2 - (3\sqrt{2})^2 = 16 - (9 \cdot 2) = 16 - 18 = -2$.

Теперь выполним вычитание дробей:

$\frac{5(4 + 3\sqrt{2}) - 5(4 - 3\sqrt{2})}{-2} = \frac{20 + 15\sqrt{2} - 20 + 15\sqrt{2}}{-2} = \frac{30\sqrt{2}}{-2} = -15\sqrt{2}$.

Ответ: $-15\sqrt{2}$.

2) Для вычисления выражения $\frac{1}{\sqrt{4 + \sqrt{15}} + 1} - \frac{1}{\sqrt{4 + \sqrt{15}} - 1}$ приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель равен произведению знаменателей, которое можно вычислить по формуле разности квадратов:

$(\sqrt{4 + \sqrt{15}} + 1)(\sqrt{4 + \sqrt{15}} - 1) = (\sqrt{4 + \sqrt{15}})^2 - 1^2 = (4 + \sqrt{15}) - 1 = 3 + \sqrt{15}$.

Теперь преобразуем все выражение, выполнив вычитание в числителе:

$\frac{1(\sqrt{4 + \sqrt{15}} - 1) - 1(\sqrt{4 + \sqrt{15}} + 1)}{3 + \sqrt{15}} = \frac{\sqrt{4 + \sqrt{15}} - 1 - \sqrt{4 + \sqrt{15}} - 1}{3 + \sqrt{15}} = \frac{-2}{3 + \sqrt{15}}$.

Избавимся от иррациональности в знаменателе, домножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(3 - \sqrt{15})$:

$\frac{-2(3 - \sqrt{15})}{(3 + \sqrt{15})(3 - \sqrt{15})} = \frac{-2(3 - \sqrt{15})}{3^2 - (\sqrt{15})^2} = \frac{-2(3 - \sqrt{15})}{9 - 15} = \frac{-2(3 - \sqrt{15})}{-6}$.

Сократив дробь на -2, получаем: $\frac{3 - \sqrt{15}}{3}$, что равно $1 - \frac{\sqrt{15}}{3}$.

Ответ: $1 - \frac{\sqrt{15}}{3}$.

3) Чтобы найти значение выражения $(\sqrt{5 - 2\sqrt{6}} + \sqrt{5 + 2\sqrt{6}})^2$, воспользуемся формулой квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Пусть $a = \sqrt{5 - 2\sqrt{6}}$ и $b = \sqrt{5 + 2\sqrt{6}}$.

Тогда $a^2 = (\sqrt{5 - 2\sqrt{6}})^2 = 5 - 2\sqrt{6}$ и $b^2 = (\sqrt{5 + 2\sqrt{6}})^2 = 5 + 2\sqrt{6}$.

Найдем удвоенное произведение $2ab$: $2ab = 2 \sqrt{(5 - 2\sqrt{6})(5 + 2\sqrt{6})}$. Используя формулу разности квадратов под корнем, получаем: $2ab = 2 \sqrt{5^2 - (2\sqrt{6})^2} = 2 \sqrt{25 - (4 \cdot 6)} = 2 \sqrt{25 - 24} = 2 \sqrt{1} = 2$.

Теперь сложим все части: $a^2 + 2ab + b^2 = (5 - 2\sqrt{6}) + 2 + (5 + 2\sqrt{6})$.

Сгруппируем и упростим: $5 + 5 + 2 - 2\sqrt{6} + 2\sqrt{6} = 12$.

Ответ: $12$.

909. Упростите выражение:

1) $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3} - \frac{x}{x-9}$

2) $(\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}-\sqrt{c}} + \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{c}}) : \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}-\sqrt{c}}$

Исходное выражение: $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3} - \frac{x}{x-9}$

Для упрощения этого выражения необходимо привести дроби к общему знаменателю. Заметим, что знаменатель второй дроби, $x-9$, является разностью квадратов, поскольку $x = (\sqrt{x})^2$ и $9 = 3^2$.

Разложим знаменатель $x-9$ на множители:

$x - 9 = (\sqrt{x})^2 - 3^2 = (\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)$

Теперь видно, что общий знаменатель для обеих дробей — это $(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)$, или $x-9$.

Приведем первую дробь к общему знаменателю, умножив ее числитель и знаменатель на $(\sqrt{x}+3)$:

$\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3} = \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}+3)}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)} = \frac{\sqrt{x} \cdot \sqrt{x} + \sqrt{x} \cdot 3}{x-9} = \frac{x+3\sqrt{x}}{x-9}$

Теперь выполним вычитание дробей с одинаковыми знаменателями:

$\frac{x+3\sqrt{x}}{x-9} - \frac{x}{x-9} = \frac{(x+3\sqrt{x}) - x}{x-9} = \frac{x+3\sqrt{x}-x}{x-9} = \frac{3\sqrt{x}}{x-9}$

Выражение определено при $x \ge 0$ и $x \neq 9$.

Ответ: $\frac{3\sqrt{x}}{x-9}$

Исходное выражение: $(\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}-\sqrt{c}} + \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{c}}) : \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}-\sqrt{c}}$

Можно решить эту задачу, сначала выполнив сложение в скобках, а затем деление. Однако есть более изящный способ: можно воспользоваться дистрибутивным свойством деления относительно сложения, то есть разделить каждое слагаемое в скобках на делитель.

$(a+d):k = a:k + d:k$

Применим это свойство к нашему выражению:

$(\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}-\sqrt{c}} : \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}-\sqrt{c}}) + (\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{c}} : \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}-\sqrt{c}})$

Упростим первое слагаемое. Здесь мы делим выражение на само себя, что дает в результате 1 (при условии, что делитель не равен нулю, что следует из области определения).

$\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}-\sqrt{c}} : \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}-\sqrt{c}} = 1$

Теперь упростим второе слагаемое. Деление на дробь эквивалентно умножению на обратную (перевернутую) дробь:

$\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{c}} : \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}-\sqrt{c}} = \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{c}} \cdot \frac{\sqrt{b}-\sqrt{c}}{\sqrt{b}}$

Сократим общий множитель $\sqrt{b}$ в числителе и знаменателе:

$\frac{1}{\sqrt{c}} \cdot (\sqrt{b}-\sqrt{c}) = \frac{\sqrt{b}-\sqrt{c}}{\sqrt{c}}$

Осталось сложить полученные результаты:

$1 + \frac{\sqrt{b}-\sqrt{c}}{\sqrt{c}}$

Приведем 1 к дроби со знаменателем $\sqrt{c}$:

$\frac{\sqrt{c}}{\sqrt{c}} + \frac{\sqrt{b}-\sqrt{c}}{\sqrt{c}} = \frac{\sqrt{c} + (\sqrt{b}-\sqrt{c})}{\sqrt{c}} = \frac{\sqrt{c} + \sqrt{b} - \sqrt{c}}{\sqrt{c}} = \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{c}}$

Выражение определено при $b > 0$, $c > 0$ и $b \neq c$.

Ответ: $\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{c}}$

910. Упростите выражение:

1) $\sqrt{(\sqrt{x}+5)^2 - 20\sqrt{x}} + \sqrt{(\sqrt{x}-4)^2 + 16\sqrt{x}};$

2) $\sqrt{a+2\sqrt{a+3}+4} + \sqrt{a-2\sqrt{a+3}+4.}$

1) Упростим данное выражение $ \sqrt{(\sqrt{x}+5)^2 - 20\sqrt{x}} + \sqrt{(\sqrt{x}-4)^2 + 16\sqrt{x}} $.
Для этого сначала преобразуем выражения под каждым корнем, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые.
Первое подкоренное выражение:
$ (\sqrt{x}+5)^2 - 20\sqrt{x} = ((\sqrt{x})^2 + 2 \cdot \sqrt{x} \cdot 5 + 5^2) - 20\sqrt{x} = (x + 10\sqrt{x} + 25) - 20\sqrt{x} = x - 10\sqrt{x} + 25 $.
Полученное выражение является полным квадратом разности: $ x - 10\sqrt{x} + 25 = (\sqrt{x}-5)^2 $.
Второе подкоренное выражение:
$ (\sqrt{x}-4)^2 + 16\sqrt{x} = ((\sqrt{x})^2 - 2 \cdot \sqrt{x} \cdot 4 + 4^2) + 16\sqrt{x} = (x - 8\sqrt{x} + 16) + 16\sqrt{x} = x + 8\sqrt{x} + 16 $.
Это выражение также является полным квадратом, но уже суммы: $ x + 8\sqrt{x} + 16 = (\sqrt{x}+4)^2 $.
Теперь подставим полученные квадраты обратно в исходное выражение:
$ \sqrt{(\sqrt{x}-5)^2} + \sqrt{(\sqrt{x}+4)^2} $.
Используя свойство арифметического квадратного корня $ \sqrt{a^2}=|a| $, получаем:
$ |\sqrt{x}-5| + |\sqrt{x}+4| $.
Область допустимых значений переменной $x$ определяется условием $ x \ge 0 $. При этом $ \sqrt{x} \ge 0 $, а значит выражение $ \sqrt{x}+4 $ всегда положительно. Следовательно, $ |\sqrt{x}+4| = \sqrt{x}+4 $.
Выражение упрощается до вида: $ |\sqrt{x}-5| + \sqrt{x}+4 $.
Для раскрытия оставшегося модуля необходимо рассмотреть два случая.
Случай 1: Выражение под модулем неотрицательно, т.е. $ \sqrt{x}-5 \ge 0 \Rightarrow \sqrt{x} \ge 5 \Rightarrow x \ge 25 $.
В этом случае $ |\sqrt{x}-5| = \sqrt{x}-5 $. Все выражение равно: $ (\sqrt{x}-5) + (\sqrt{x}+4) = 2\sqrt{x}-1 $.
Случай 2: Выражение под модулем отрицательно, т.е. $ \sqrt{x}-5 < 0 \Rightarrow 0 \le \sqrt{x} < 5 \Rightarrow 0 \le x < 25 $.
В этом случае $ |\sqrt{x}-5| = -(\sqrt{x}-5) = 5-\sqrt{x} $. Все выражение равно: $ (5-\sqrt{x}) + (\sqrt{x}+4) = 9 $.
Ответ: $ \begin{cases} 9, & \text{если } 0 \le x < 25 \\ 2\sqrt{x}-1, & \text{если } x \ge 25 \end{cases} $

2) Упростим выражение $ \sqrt{a+2\sqrt{a+3}+4} + \sqrt{a-2\sqrt{a+3}+4} $.
Преобразуем подкоренные выражения, чтобы выделить в них полные квадраты.
Первое подкоренное выражение:
$ a+2\sqrt{a+3}+4 = (a+3) + 2\sqrt{a+3} + 1 $.
Это выражение вида $ u^2+2u+1=(u+1)^2 $, где $ u=\sqrt{a+3} $. Таким образом, $ (a+3) + 2\sqrt{a+3} + 1 = (\sqrt{a+3}+1)^2 $.
Второе подкоренное выражение:
$ a-2\sqrt{a+3}+4 = (a+3) - 2\sqrt{a+3} + 1 $.
Это выражение вида $ u^2-2u+1=(u-1)^2 $, где $ u=\sqrt{a+3} $. Таким образом, $ (a+3) - 2\sqrt{a+3} + 1 = (\sqrt{a+3}-1)^2 $.
Подставим полученные результаты в исходное выражение:
$ \sqrt{(\sqrt{a+3}+1)^2} + \sqrt{(\sqrt{a+3}-1)^2} $.
Применяя свойство $ \sqrt{b^2}=|b| $, получаем:
$ |\sqrt{a+3}+1| + |\sqrt{a+3}-1| $.
Область допустимых значений переменной $a$ определяется условием $ a+3 \ge 0 \Rightarrow a \ge -3 $.
Так как $ \sqrt{a+3} \ge 0 $, то $ \sqrt{a+3}+1 > 0 $, и модуль можно опустить: $ |\sqrt{a+3}+1| = \sqrt{a+3}+1 $.
Выражение принимает вид: $ \sqrt{a+3}+1 + |\sqrt{a+3}-1| $.
Для раскрытия оставшегося модуля рассмотрим два случая.
Случай 1: $ \sqrt{a+3}-1 \ge 0 \Rightarrow \sqrt{a+3} \ge 1 \Rightarrow a+3 \ge 1 \Rightarrow a \ge -2 $.
Тогда $ |\sqrt{a+3}-1| = \sqrt{a+3}-1 $. Все выражение равно: $ (\sqrt{a+3}+1) + (\sqrt{a+3}-1) = 2\sqrt{a+3} $.
Случай 2: $ \sqrt{a+3}-1 < 0 \Rightarrow 0 \le \sqrt{a+3} < 1 \Rightarrow 0 \le a+3 < 1 \Rightarrow -3 \le a < -2 $.
Тогда $ |\sqrt{a+3}-1| = -(\sqrt{a+3}-1) = 1-\sqrt{a+3} $. Все выражение равно: $ (\sqrt{a+3}+1) + (1-\sqrt{a+3}) = 2 $.
Ответ: $ \begin{cases} 2, & \text{если } -3 \le a < -2 \\ 2\sqrt{a+3}, & \text{если } a \ge -2 \end{cases} $

911. Упростите выражение:

$\frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{8} + \sqrt{5}} + \frac{1}{\sqrt{11} + \sqrt{8}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{50} + \sqrt{47}}$

Для упрощения данного выражения мы будем работать с каждым слагаемым отдельно, избавляясь от иррациональности в знаменателе. Общий вид каждого слагаемого — это дробь $ \frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} $. Чтобы упростить такую дробь, нужно умножить ее числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю, то есть на $ \sqrt{a} - \sqrt{b} $. В результате мы используем формулу разности квадратов $ (x+y)(x-y) = x^2 - y^2 $.

Рассмотрим общий случай:

$ \frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} = \frac{1 \cdot (\sqrt{a} - \sqrt{b})}{(\sqrt{a} + \sqrt{b})(\sqrt{a} - \sqrt{b})} = \frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{(\sqrt{a})^2 - (\sqrt{b})^2} = \frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{a - b} $

Теперь применим этот метод к каждому члену нашей суммы. Заметим, что для всех дробей в выражении разность подкоренных чисел в знаменателе одна и та же:

$ 5-2=3 $

$ 8-5=3 $

$ 11-8=3 $

...и так далее до последнего члена...

$ 50-47=3 $

Таким образом, знаменатель каждой преобразованной дроби будет равен 3.

Преобразуем каждое слагаемое:

$ \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{2}}{5-2} = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{2}}{3} $

$ \frac{1}{\sqrt{8} + \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{8} - \sqrt{5}}{8-5} = \frac{\sqrt{8} - \sqrt{5}}{3} $

$ \frac{1}{\sqrt{11} + \sqrt{8}} = \frac{\sqrt{11} - \sqrt{8}}{11-8} = \frac{\sqrt{11} - \sqrt{8}}{3} $

И так для всех членов до последнего:

$ \frac{1}{\sqrt{50} + \sqrt{47}} = \frac{\sqrt{50} - \sqrt{47}}{50-47} = \frac{\sqrt{50} - \sqrt{47}}{3} $

Теперь запишем исходное выражение как сумму преобразованных дробей:

$ \frac{\sqrt{5} - \sqrt{2}}{3} + \frac{\sqrt{8} - \sqrt{5}}{3} + \frac{\sqrt{11} - \sqrt{8}}{3} + \dots + \frac{\sqrt{50} - \sqrt{47}}{3} $

Мы можем вынести общий множитель $ \frac{1}{3} $ за скобки:

$ \frac{1}{3} \left( (\sqrt{5} - \sqrt{2}) + (\sqrt{8} - \sqrt{5}) + (\sqrt{11} - \sqrt{8}) + \dots + (\sqrt{50} - \sqrt{47}) \right) $

Выражение в скобках представляет собой телескопическую сумму. Если мы раскроем скобки, то увидим, что многие члены взаимно уничтожаются:

$ \frac{1}{3} ( -\sqrt{2} + \sqrt{5} - \sqrt{5} + \sqrt{8} - \sqrt{8} + \sqrt{11} + \dots - \sqrt{47} + \sqrt{50} ) $

Член $ +\sqrt{5} $ сокращается с $ -\sqrt{5} $, член $ +\sqrt{8} $ с $ -\sqrt{8} $, и так далее. Все промежуточные члены сокращаются. В итоге в скобках остаются только первый и последний члены: $ -\sqrt{2} $ и $ +\sqrt{50} $.

Таким образом, сумма в скобках равна $ \sqrt{50} - \sqrt{2} $. Подставим это обратно в наше выражение:

$ \frac{1}{3} (\sqrt{50} - \sqrt{2}) $

Для окончательного ответа упростим $ \sqrt{50} $. Мы можем разложить 50 на множители: $ 50 = 25 \cdot 2 $. Тогда:

$ \sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{2} = 5\sqrt{2} $

Подставим это значение в наше выражение:

$ \frac{1}{3} (5\sqrt{2} - \sqrt{2}) = \frac{1}{3} (4\sqrt{2}) = \frac{4\sqrt{2}}{3} $

Ответ: $ \frac{4\sqrt{2}}{3} $

912. Докажите, что:

$\sqrt{2+\sqrt{3}} \cdot \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}} \cdot \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}} \cdot \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}} = 1.$

Для доказательства данного равенства будем последовательно упрощать левую часть, используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ и свойство произведения корней $\sqrt{x} \cdot \sqrt{y} = \sqrt{xy}$.

Обозначим все выражение в левой части через $L$:
$L = \sqrt{2+\sqrt{3}} \cdot \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}} \cdot \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}} \cdot \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}}$

Шаг 1:
Рассмотрим произведение последних двух множителей. Они имеют вид $\sqrt{2+A} \cdot \sqrt{2-A}$, где $A = \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}$.
$\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}} \cdot \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}} = \sqrt{(2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}})(2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}})}$
Применяя формулу разности квадратов под корнем, получаем:
$\sqrt{2^2 - (\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}})^2} = \sqrt{4 - (2+\sqrt{2+\sqrt{3}})} = \sqrt{4 - 2 - \sqrt{2+\sqrt{3}}} = \sqrt{2 - \sqrt{2+\sqrt{3}}}$

Теперь выражение $L$ принимает вид:
$L = \sqrt{2+\sqrt{3}} \cdot \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}} \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2+\sqrt{3}}}$

Шаг 2:
Снова рассмотрим произведение последних двух множителей. Они имеют вид $\sqrt{2+B} \cdot \sqrt{2-B}$, где $B = \sqrt{2+\sqrt{3}}$.
$\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}} \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2+\sqrt{3}}} = \sqrt{(2+\sqrt{2+\sqrt{3}})(2-\sqrt{2+\sqrt{3}})}$
Применяя формулу разности квадратов под корнем, получаем:
$\sqrt{2^2 - (\sqrt{2+\sqrt{3}})^2} = \sqrt{4 - (2+\sqrt{3})} = \sqrt{4 - 2 - \sqrt{3}} = \sqrt{2 - \sqrt{3}}$

Теперь выражение $L$ упростилось до:
$L = \sqrt{2+\sqrt{3}} \cdot \sqrt{2 - \sqrt{3}}$

Шаг 3:
Вычислим оставшееся произведение. Оно имеет вид $\sqrt{2+C} \cdot \sqrt{2-C}$, где $C = \sqrt{3}$.
$\sqrt{2+\sqrt{3}} \cdot \sqrt{2 - \sqrt{3}} = \sqrt{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}$
Применяя формулу разности квадратов, получаем:
$\sqrt{2^2 - (\sqrt{3})^2} = \sqrt{4 - 3} = \sqrt{1} = 1$

Таким образом, мы показали, что левая часть равенства равна 1, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано.

913. Расположите в порядке возрастания числа: 13; $\sqrt{165}$; 12,7; $\sqrt{171}$; 13,4.

Для того чтобы расположить данные числа в порядке возрастания, необходимо их сравнить. Поскольку в ряду есть числа под знаком корня, удобнее всего сравнить их квадраты. Все числа положительны, поэтому чем больше квадрат числа, тем больше и само число (для положительных чисел $a$ и $b$, если $a < b$, то $a^2 < b^2$).

Возведем каждое число в квадрат:

$13^2 = 169$
$(\sqrt{165})^2 = 165$
$12,7^2 = 161,29$
$(\sqrt{171})^2 = 171$
$13,4^2 = 179,56$

Теперь расположим полученные квадраты в порядке возрастания:

$161,29 < 165 < 169 < 171 < 179,56$

Так как квадраты чисел соотносятся указанным образом, то и сами числа располагаются в том же порядке:

$12,7 < \sqrt{165} < 13 < \sqrt{171} < 13,4$

Ответ: $12,7; \sqrt{165}; 13; \sqrt{171}; 13,4$.

914. Постройте в одной системе координат графики функций $y = \sqrt{x}$ и $y = x - 6$ и определите координаты точки их пересечения.

Построение в одной системе координат графиков функций $y=\sqrt{x}$ и $y=x-6$

Для построения графика функции $y = \sqrt{x}$ (ветвь параболы) определим координаты нескольких точек, принадлежащих этому графику. Область определения функции: $x \ge 0$.

• При $x=0$, $y=\sqrt{0}=0$. Точка (0; 0).
• При $x=1$, $y=\sqrt{1}=1$. Точка (1; 1).
• При $x=4$, $y=\sqrt{4}=2$. Точка (4; 2).
• При $x=9$, $y=\sqrt{9}=3$. Точка (9; 3).

Для построения графика функции $y = x - 6$ (прямая линия) достаточно найти координаты двух любых точек. Удобно взять точки пересечения с осями координат:

• При $x=0$, $y = 0 - 6 = -6$. Точка (0; -6).
• При $y=0$, $0 = x - 6$, откуда $x=6$. Точка (6; 0).

Нанеся вычисленные точки на координатную плоскость и соединив их (плавной кривой для $y=\sqrt{x}$ и прямой линией для $y=x-6$), мы получим графики обеих функций в одной системе координат.

Ответ: Построены графики функций. График $y=\sqrt{x}$ — это ветвь параболы, проходящая через точки (0; 0), (1; 1), (4; 2) и другие. График $y=x-6$ — это прямая, проходящая через точки (0; -6) и (6; 0).

Определение координат точки их пересечения

Точка пересечения является общим решением для обеих функций. Чтобы найти ее координаты, нужно решить систему уравнений:
$ \begin{cases} y = \sqrt{x} \\ y = x - 6 \end{cases} $

Приравняем правые части уравнений, чтобы найти абсциссу ($x$) точки пересечения:
$\sqrt{x} = x - 6$

Возведем обе части этого иррационального уравнения в квадрат. При этом необходимо учесть область допустимых значений: так как значение квадратного корня не может быть отрицательным, должно выполняться условие $x - 6 \ge 0$, то есть $x \ge 6$.
$(\sqrt{x})^2 = (x-6)^2$
$x = x^2 - 12x + 36$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$x^2 - 13x + 36 = 0$

Решим уравнение, используя теорему Виета. Сумма корней равна 13, а их произведение равно 36. Следовательно, корни уравнения:
$x_1 = 4$ и $x_2 = 9$.

Теперь проверим найденные корни на соответствие ранее установленному условию $x \ge 6$.
- Корень $x_1 = 4$ не удовлетворяет условию $4 \ge 6$, значит, это посторонний корень, появившийся в результате возведения в квадрат.
- Корень $x_2 = 9$ удовлетворяет условию $9 \ge 6$, значит, это искомая абсцисса точки пересечения.

Для нахождения ординаты ($y$) подставим значение $x=9$ в любое из исходных уравнений. Проще всего использовать $y = \sqrt{x}$:
$y = \sqrt{9} = 3$

Проверка по второму уравнению: $y = 9 - 6 = 3$. Значение совпадает.
Таким образом, графики пересекаются в точке с координатами (9; 3).

Ответ: (9; 3).

915. Между какими двумя последовательными целыми числами находится на координатной прямой число:

1) $\sqrt{67}$;

2) $\sqrt{103}$;

3) $-\sqrt{51,25}$?

1) $\sqrt{67}$

Чтобы определить, между какими двумя последовательными целыми числами находится число $\sqrt{67}$, необходимо найти два целых числа $n$ и $n+1$, для которых выполняется неравенство $n < \sqrt{67} < n+1$. Для этого найдём два ближайших к числу 67 полных квадрата.

Рассмотрим квадраты целых чисел: $8^2 = 64$ и $9^2 = 81$.

Число 67 находится между этими квадратами: $64 < 67 < 81$.

Извлечём квадратный корень из всех частей этого двойного неравенства. Так как функция квадратного корня является возрастающей, знаки неравенства сохраняются:

$\sqrt{64} < \sqrt{67} < \sqrt{81}$

Вычислив значения корней, получаем:

$8 < \sqrt{67} < 9$

Следовательно, число $\sqrt{67}$ находится между последовательными целыми числами 8 и 9.

Ответ: между 8 и 9.

2) $\sqrt{103}$

Действуем аналогично предыдущему пункту. Нам нужно найти два последовательных целых числа, между которыми расположено число $\sqrt{103}$. Для этого ищем ближайшие к числу 103 полные квадраты.

Ближайшими полными квадратами являются $10^2 = 100$ и $11^2 = 121$.

Составляем двойное неравенство: $100 < 103 < 121$.

Извлекаем квадратный корень из каждой части неравенства:

$\sqrt{100} < \sqrt{103} < \sqrt{121}$

Это даёт нам следующий результат:

$10 < \sqrt{103} < 11$

Таким образом, число $\sqrt{103}$ находится между последовательными целыми числами 10 и 11.

Ответ: между 10 и 11.

3) $-\sqrt{51,25}$

В этом случае мы имеем дело с отрицательным числом. Сначала оценим значение положительного корня $\sqrt{51,25}$. Для этого найдём полные квадраты, между которыми заключено подкоренное выражение 51,25.

Ближайшие полные квадраты: $7^2 = 49$ и $8^2 = 64$.

Так как $49 < 51.25 < 64$, мы можем записать:

$\sqrt{49} < \sqrt{51.25} < \sqrt{64}$

Вычислив корни, получаем:

$7 < \sqrt{51.25} < 8$

Теперь вернёмся к исходному числу $-\sqrt{51,25}$. Для этого умножим все части полученного неравенства на -1. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:

$-7 > -\sqrt{51.25} > -8$

Чтобы неравенство было записано в порядке возрастания, поменяем местами его части:

$-8 < -\sqrt{51.25} < -7$

Значит, число $-\sqrt{51,25}$ находится между последовательными целыми числами -8 и -7.

Ответ: между -8 и -7.

916. Какие целые числа расположены на координатной прямой между числами:

1) 6 и $\sqrt{67}$;

2) $\sqrt{14}$ и $\sqrt{52}$;

3) $-\sqrt{53}$ и $-4,9$;

4) $-\sqrt{31}$ и $2,7$?

1) Чтобы найти целые числа между 6 и $\sqrt{67}$, необходимо оценить значение $\sqrt{67}$. Поскольку $8^2 = 64$ и $9^2 = 81$, то $\sqrt{64} < \sqrt{67} < \sqrt{81}$, что эквивалентно $8 < \sqrt{67} < 9$. Таким образом, мы ищем целые числа $x$, удовлетворяющие двойному неравенству $6 < x < \sqrt{67}$. Так как значение $\sqrt{67}$ находится между 8 и 9 (приблизительно 8,19), то искомые целые числа — это те, что больше 6 и меньше 8,19. Это числа 7 и 8.

Ответ: 7, 8.

2) Для нахождения целых чисел между $\sqrt{14}$ и $\sqrt{52}$, оценим значения этих корней.Для $\sqrt{14}$: так как $3^2 = 9$ и $4^2 = 16$, то $3 < \sqrt{14} < 4$.Для $\sqrt{52}$: так как $7^2 = 49$ и $8^2 = 64$, то $7 < \sqrt{52} < 8$.Мы ищем целые числа $x$, для которых выполняется неравенство $\sqrt{14} < x < \sqrt{52}$. Подставив приближенные значения ($ \sqrt{14} \approx 3,74 $ и $ \sqrt{52} \approx 7,21 $), получим $3,74... < x < 7,21...$. В этот интервал попадают целые числа 4, 5, 6, 7.

Ответ: 4, 5, 6, 7.

3) Требуется найти целые числа между $-\sqrt{53}$ и $-4,9$. Сначала оценим значение $\sqrt{53}$. Так как $7^2 = 49$ и $8^2 = 64$, то $7 < \sqrt{53} < 8$. Следовательно, $-8 < -\sqrt{53} < -7$. Приблизительное значение $-\sqrt{53} \approx -7,28$. Мы ищем целые числа $x$, удовлетворяющие неравенству $-\sqrt{53} < x < -4,9$, то есть $-7,28... < x < -4,9$. Этому условию на числовой прямой удовлетворяют целые числа -7, -6, -5.

Ответ: -7, -6, -5.

4) Найдем целые числа, расположенные между $-\sqrt{31}$ и $2,7$. Для этого оценим значение $-\sqrt{31}$. Поскольку $5^2 = 25$ и $6^2 = 36$, то $5 < \sqrt{31} < 6$. Отсюда следует, что $-6 < -\sqrt{31} < -5$. Приблизительное значение $-\sqrt{31} \approx -5,57$. Искомые целые числа $x$ должны удовлетворять неравенству $-\sqrt{31} < x < 2,7$, или $-5,57... < x < 2,7$. В этот диапазон входят следующие целые числа: -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2.

Ответ: -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2.

917. Дана функция $f(x) = \begin{cases} -\frac{2}{x}, \text{ если } x < 0, \\ 3, \text{ если } 0 \le x \le 4, \\ \sqrt{x}, \text{ если } x > 4. \end{cases}$

1) Чтобы найти значения функции в заданных точках, необходимо определить, какому из трех интервалов принадлежит аргумент $x$, и использовать соответствующую этому интервалу формулу.

• Для нахождения $f(-0,5)$ заметим, что аргумент $x = -0,5$ удовлетворяет условию $x < 0$. Следовательно, используем первую формулу $f(x) = -\frac{2}{x}$:
  $f(-0,5) = -\frac{2}{-0,5} = 4$.

• Для нахождения $f(0)$ заметим, что аргумент $x = 0$ удовлетворяет условию $0 \le x \le 4$. Следовательно, используем вторую формулу $f(x) = 3$:
  $f(0) = 3$.

• Для нахождения $f(4)$ заметим, что аргумент $x = 4$ удовлетворяет условию $0 \le x \le 4$. Следовательно, используем вторую формулу $f(x) = 3$:
  $f(4) = 3$.

• Для нахождения $f(9)$ заметим, что аргумент $x = 9$ удовлетворяет условию $x > 4$. Следовательно, используем третью формулу $f(x) = \sqrt{x}$:
  $f(9) = \sqrt{9} = 3$.

Ответ: $f(-0,5) = 4$; $f(0) = 3$; $f(4) = 3$; $f(9) = 3$.

2) График данной кусочно-заданной функции состоит из трех частей. Построим каждую из них на своей области определения.

1. При $x < 0$ функция имеет вид $f(x) = -\frac{2}{x}$. Это график обратной пропорциональности (гипербола), ветви которой расположены во II и IV координатных четвертях. Поскольку $x < 0$, мы строим только ту ветвь, что находится во II четверти. Для построения найдем координаты нескольких точек:

   • если $x = -4$, то $y = -2/(-4) = 0,5$;

   • если $x = -2$, то $y = -2/(-2) = 1$;

   • если $x = -1$, то $y = -2/(-1) = 2$;

   • если $x = -0,5$, то $y = -2/(-0,5) = 4$.

   График асимптотически приближается к осям координат.

2. При $0 \le x \le 4$ функция имеет вид $f(x) = 3$. Это график постоянной функции, который представляет собой горизонтальный отрезок прямой $y=3$. Концевые точки отрезка — $(0, 3)$ и $(4, 3)$. Так как неравенства нестрогие, обе точки принадлежат графику и на чертеже обозначаются закрашенными кружками.

3. При $x > 4$ функция имеет вид $f(x) = \sqrt{x}$. Это часть графика функции квадратного корня. Область определения этого участка $x > 4$. Найдем начальную точку: при $x=4$, $y = \sqrt{4} = 2$. Так как неравенство строгое ($x > 4$), точка $(4, 2)$ не принадлежит графику и обозначается на чертеже выколотым (пустым) кружком. Для дальнейшего построения найдем еще одну точку:

   • если $x = 9$, то $y = \sqrt{9} = 3$.

   График представляет собой кривую, выходящую из точки $(4, 2)$ и плавно возрастающую при движении вправо.

Объединяя все три части на одной координатной плоскости, получаем искомый график функции. Важно отметить, что в точке $x=4$ функция имеет разрыв.

Ответ: График функции состоит из трех частей: 1) ветвь гиперболы $y = -2/x$ во второй координатной четверти ($x < 0$); 2) горизонтальный отрезок прямой $y=3$ с закрашенными концами в точках $(0, 3)$ и $(4, 3)$; 3) часть графика $y = \sqrt{x}$ при $x>4$, начинающаяся из выколотой точки $(4, 2)$.