Номер 907, страница 225 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Квадратные уравнения. Упражнения для повторения курса алгебры 8 класса - номер 907, страница 225.

Условие.

907. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:

1) $\frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{2}+1}$;

2) $\frac{2}{\sqrt{10}+\sqrt{5}-\sqrt{3}}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Чтобы освободиться от иррациональности в знаменателе дроби $ \frac{1}{\sqrt{6} + \sqrt{2} + 1} $, необходимо последовательно применить формулу разности квадратов $ (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 $. Сначала сгруппируем слагаемые в знаменателе как $ \sqrt{6} + (\sqrt{2} + 1) $ и умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $ \sqrt{6} - (\sqrt{2} + 1) $.

$ \frac{1}{\sqrt{6} + \sqrt{2} + 1} = \frac{1}{\sqrt{6} + (\sqrt{2} + 1)} \cdot \frac{\sqrt{6} - (\sqrt{2} + 1)}{\sqrt{6} - (\sqrt{2} + 1)} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2} - 1}{(\sqrt{6})^2 - (\sqrt{2} + 1)^2} $

Упростим знаменатель:

$ (\sqrt{6})^2 - (\sqrt{2} + 1)^2 = 6 - ((\sqrt{2})^2 + 2\sqrt{2} \cdot 1 + 1^2) = 6 - (2 + 2\sqrt{2} + 1) = 6 - (3 + 2\sqrt{2}) = 3 - 2\sqrt{2} $

Получим дробь: $ \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2} - 1}{3 - 2\sqrt{2}} $.

Теперь в знаменателе осталась иррациональность. Чтобы от нее избавиться, умножим числитель и знаменатель на сопряженное к $ 3 - 2\sqrt{2} $ выражение, то есть на $ 3 + 2\sqrt{2} $.

$ \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2} - 1}{3 - 2\sqrt{2}} \cdot \frac{3 + 2\sqrt{2}}{3 + 2\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{6} - \sqrt{2} - 1)(3 + 2\sqrt{2})}{(3 - 2\sqrt{2})(3 + 2\sqrt{2})} $

Вычислим новый знаменатель:

$ (3 - 2\sqrt{2})(3 + 2\sqrt{2}) = 3^2 - (2\sqrt{2})^2 = 9 - (4 \cdot 2) = 9 - 8 = 1 $

Вычислим новый числитель, раскрыв скобки:

$ (\sqrt{6} - \sqrt{2} - 1)(3 + 2\sqrt{2}) = \sqrt{6}(3 + 2\sqrt{2}) - \sqrt{2}(3 + 2\sqrt{2}) - 1(3 + 2\sqrt{2}) $

$ = 3\sqrt{6} + 2\sqrt{12} - 3\sqrt{2} - 2(\sqrt{2})^2 - 3 - 2\sqrt{2} $

$ = 3\sqrt{6} + 2 \cdot 2\sqrt{3} - 3\sqrt{2} - 4 - 3 - 2\sqrt{2} $

Соберем подобные слагаемые:

$ = 3\sqrt{6} + 4\sqrt{3} - (3\sqrt{2} + 2\sqrt{2}) - (4+3) = 3\sqrt{6} + 4\sqrt{3} - 5\sqrt{2} - 7 $

Таким образом, исходная дробь равна $ \frac{3\sqrt{6} + 4\sqrt{3} - 5\sqrt{2} - 7}{1} $.

Ответ: $ 3\sqrt{6} + 4\sqrt{3} - 5\sqrt{2} - 7 $.

2) Чтобы освободиться от иррациональности в знаменателе дроби $ \frac{2}{\sqrt{10} + \sqrt{5} - \sqrt{3}} $, сгруппируем слагаемые в знаменателе как $ \sqrt{10} + (\sqrt{5} - \sqrt{3}) $ и умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $ \sqrt{10} - (\sqrt{5} - \sqrt{3}) $.

$ \frac{2}{\sqrt{10} + (\sqrt{5} - \sqrt{3})} \cdot \frac{\sqrt{10} - (\sqrt{5} - \sqrt{3})}{\sqrt{10} - (\sqrt{5} - \sqrt{3})} = \frac{2(\sqrt{10} - \sqrt{5} + \sqrt{3})}{(\sqrt{10})^2 - (\sqrt{5} - \sqrt{3})^2} $

Упростим знаменатель:

$ (\sqrt{10})^2 - (\sqrt{5} - \sqrt{3})^2 = 10 - ((\sqrt{5})^2 - 2\sqrt{5}\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2) = 10 - (5 - 2\sqrt{15} + 3) = 10 - (8 - 2\sqrt{15}) = 2 + 2\sqrt{15} $

Получим дробь: $ \frac{2(\sqrt{10} - \sqrt{5} + \sqrt{3})}{2 + 2\sqrt{15}} = \frac{2(\sqrt{10} - \sqrt{5} + \sqrt{3})}{2(1 + \sqrt{15})} = \frac{\sqrt{10} - \sqrt{5} + \sqrt{3}}{1 + \sqrt{15}} $.

Теперь нужно избавиться от иррациональности в новом знаменателе. Для этого умножим числитель и знаменатель на сопряженное к $ 1 + \sqrt{15} $ выражение, то есть на $ \sqrt{15} - 1 $.

$ \frac{\sqrt{10} - \sqrt{5} + \sqrt{3}}{1 + \sqrt{15}} \cdot \frac{\sqrt{15} - 1}{\sqrt{15} - 1} = \frac{(\sqrt{10} - \sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{15} - 1)}{(1 + \sqrt{15})(\sqrt{15} - 1)} $

Вычислим новый знаменатель:

$ (1 + \sqrt{15})(\sqrt{15} - 1) = (\sqrt{15})^2 - 1^2 = 15 - 1 = 14 $

Вычислим новый числитель:

$ (\sqrt{10} - \sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{15} - 1) = \sqrt{10}\sqrt{15} - \sqrt{10} - \sqrt{5}\sqrt{15} + \sqrt{5} + \sqrt{3}\sqrt{15} - \sqrt{3} $

$ = \sqrt{150} - \sqrt{10} - \sqrt{75} + \sqrt{5} + \sqrt{45} - \sqrt{3} $

Упростим корни: $ \sqrt{150} = \sqrt{25 \cdot 6} = 5\sqrt{6} $, $ \sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3} $, $ \sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5} $.

Подставим упрощенные значения в числитель:

$ 5\sqrt{6} - \sqrt{10} - 5\sqrt{3} + \sqrt{5} + 3\sqrt{5} - \sqrt{3} $

Сгруппируем подобные слагаемые:

$ 5\sqrt{6} - \sqrt{10} + (\sqrt{5} + 3\sqrt{5}) + (-5\sqrt{3} - \sqrt{3}) = 5\sqrt{6} - \sqrt{10} + 4\sqrt{5} - 6\sqrt{3} $

Таким образом, исходная дробь равна $ \frac{4\sqrt{5} + 5\sqrt{6} - 6\sqrt{3} - \sqrt{10}}{14} $.

Ответ: $ \frac{4\sqrt{5} + 5\sqrt{6} - 6\sqrt{3} - \sqrt{10}}{14} $.