Номер 914, страница 225 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения для повторения курса алгебры 8 класса. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 914, страница 225.

Условие.

914. Постройте в одной системе координат графики функций $y = \sqrt{x}$ и $y = x - 6$ и определите координаты точки их пересечения.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Построение в одной системе координат графиков функций $y=\sqrt{x}$ и $y=x-6$

Для построения графика функции $y = \sqrt{x}$ (ветвь параболы) определим координаты нескольких точек, принадлежащих этому графику. Область определения функции: $x \ge 0$.

• При $x=0$, $y=\sqrt{0}=0$. Точка (0; 0).
• При $x=1$, $y=\sqrt{1}=1$. Точка (1; 1).
• При $x=4$, $y=\sqrt{4}=2$. Точка (4; 2).
• При $x=9$, $y=\sqrt{9}=3$. Точка (9; 3).

Для построения графика функции $y = x - 6$ (прямая линия) достаточно найти координаты двух любых точек. Удобно взять точки пересечения с осями координат:

• При $x=0$, $y = 0 - 6 = -6$. Точка (0; -6).
• При $y=0$, $0 = x - 6$, откуда $x=6$. Точка (6; 0).

Нанеся вычисленные точки на координатную плоскость и соединив их (плавной кривой для $y=\sqrt{x}$ и прямой линией для $y=x-6$), мы получим графики обеих функций в одной системе координат.

Ответ: Построены графики функций. График $y=\sqrt{x}$ — это ветвь параболы, проходящая через точки (0; 0), (1; 1), (4; 2) и другие. График $y=x-6$ — это прямая, проходящая через точки (0; -6) и (6; 0).

Определение координат точки их пересечения

Точка пересечения является общим решением для обеих функций. Чтобы найти ее координаты, нужно решить систему уравнений:
$ \begin{cases} y = \sqrt{x} \\ y = x - 6 \end{cases} $

Приравняем правые части уравнений, чтобы найти абсциссу ($x$) точки пересечения:
$\sqrt{x} = x - 6$

Возведем обе части этого иррационального уравнения в квадрат. При этом необходимо учесть область допустимых значений: так как значение квадратного корня не может быть отрицательным, должно выполняться условие $x - 6 \ge 0$, то есть $x \ge 6$.
$(\sqrt{x})^2 = (x-6)^2$
$x = x^2 - 12x + 36$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$x^2 - 13x + 36 = 0$

Решим уравнение, используя теорему Виета. Сумма корней равна 13, а их произведение равно 36. Следовательно, корни уравнения:
$x_1 = 4$ и $x_2 = 9$.

Теперь проверим найденные корни на соответствие ранее установленному условию $x \ge 6$.
- Корень $x_1 = 4$ не удовлетворяет условию $4 \ge 6$, значит, это посторонний корень, появившийся в результате возведения в квадрат.
- Корень $x_2 = 9$ удовлетворяет условию $9 \ge 6$, значит, это искомая абсцисса точки пересечения.

Для нахождения ординаты ($y$) подставим значение $x=9$ в любое из исходных уравнений. Проще всего использовать $y = \sqrt{x}$:
$y = \sqrt{9} = 3$

Проверка по второму уравнению: $y = 9 - 6 = 3$. Значение совпадает.
Таким образом, графики пересекаются в точке с координатами (9; 3).

Ответ: (9; 3).