Номер 911, страница 225 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение, Вентана-граф
Год издания: 2018 - 2022
Цвет обложки: розовый, фиолетовый, голубой с папками
ISBN: 978-5-360-12162-6
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 8 классе
Упражнения для повторения курса алгебры 8 класса. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 911, страница 225.
№911 (с. 225)
Условие. №911 (с. 225)
скриншот условия

911. Упростите выражение:
$\frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{8} + \sqrt{5}} + \frac{1}{\sqrt{11} + \sqrt{8}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{50} + \sqrt{47}}$
Решение 1. №911 (с. 225)

Решение 2. №911 (с. 225)

Решение 3. №911 (с. 225)

Решение 4. №911 (с. 225)

Решение 5. №911 (с. 225)

Решение 6. №911 (с. 225)

Решение 7. №911 (с. 225)

Решение 8. №911 (с. 225)
Для упрощения данного выражения мы будем работать с каждым слагаемым отдельно, избавляясь от иррациональности в знаменателе. Общий вид каждого слагаемого — это дробь $ \frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} $. Чтобы упростить такую дробь, нужно умножить ее числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю, то есть на $ \sqrt{a} - \sqrt{b} $. В результате мы используем формулу разности квадратов $ (x+y)(x-y) = x^2 - y^2 $.
Рассмотрим общий случай:
$ \frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} = \frac{1 \cdot (\sqrt{a} - \sqrt{b})}{(\sqrt{a} + \sqrt{b})(\sqrt{a} - \sqrt{b})} = \frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{(\sqrt{a})^2 - (\sqrt{b})^2} = \frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{a - b} $
Теперь применим этот метод к каждому члену нашей суммы. Заметим, что для всех дробей в выражении разность подкоренных чисел в знаменателе одна и та же:
$ 5-2=3 $
$ 8-5=3 $
$ 11-8=3 $
...и так далее до последнего члена...
$ 50-47=3 $
Таким образом, знаменатель каждой преобразованной дроби будет равен 3.
Преобразуем каждое слагаемое:
$ \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{2}}{5-2} = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{2}}{3} $
$ \frac{1}{\sqrt{8} + \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{8} - \sqrt{5}}{8-5} = \frac{\sqrt{8} - \sqrt{5}}{3} $
$ \frac{1}{\sqrt{11} + \sqrt{8}} = \frac{\sqrt{11} - \sqrt{8}}{11-8} = \frac{\sqrt{11} - \sqrt{8}}{3} $
И так для всех членов до последнего:
$ \frac{1}{\sqrt{50} + \sqrt{47}} = \frac{\sqrt{50} - \sqrt{47}}{50-47} = \frac{\sqrt{50} - \sqrt{47}}{3} $
Теперь запишем исходное выражение как сумму преобразованных дробей:
$ \frac{\sqrt{5} - \sqrt{2}}{3} + \frac{\sqrt{8} - \sqrt{5}}{3} + \frac{\sqrt{11} - \sqrt{8}}{3} + \dots + \frac{\sqrt{50} - \sqrt{47}}{3} $
Мы можем вынести общий множитель $ \frac{1}{3} $ за скобки:
$ \frac{1}{3} \left( (\sqrt{5} - \sqrt{2}) + (\sqrt{8} - \sqrt{5}) + (\sqrt{11} - \sqrt{8}) + \dots + (\sqrt{50} - \sqrt{47}) \right) $
Выражение в скобках представляет собой телескопическую сумму. Если мы раскроем скобки, то увидим, что многие члены взаимно уничтожаются:
$ \frac{1}{3} ( -\sqrt{2} + \sqrt{5} - \sqrt{5} + \sqrt{8} - \sqrt{8} + \sqrt{11} + \dots - \sqrt{47} + \sqrt{50} ) $
Член $ +\sqrt{5} $ сокращается с $ -\sqrt{5} $, член $ +\sqrt{8} $ с $ -\sqrt{8} $, и так далее. Все промежуточные члены сокращаются. В итоге в скобках остаются только первый и последний члены: $ -\sqrt{2} $ и $ +\sqrt{50} $.
Таким образом, сумма в скобках равна $ \sqrt{50} - \sqrt{2} $. Подставим это обратно в наше выражение:
$ \frac{1}{3} (\sqrt{50} - \sqrt{2}) $
Для окончательного ответа упростим $ \sqrt{50} $. Мы можем разложить 50 на множители: $ 50 = 25 \cdot 2 $. Тогда:
$ \sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{2} = 5\sqrt{2} $
Подставим это значение в наше выражение:
$ \frac{1}{3} (5\sqrt{2} - \sqrt{2}) = \frac{1}{3} (4\sqrt{2}) = \frac{4\sqrt{2}}{3} $
Ответ: $ \frac{4\sqrt{2}}{3} $
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 8 класс, для упражнения номер 911 расположенного на странице 225 к учебнику 2018 - 2022 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №911 (с. 225), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Полонский (Виталий Борисович), Якир (Михаил Семёнович), учебного пособия издательства Просвещение, Вентана-граф.