Номер 911, страница 225 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Квадратные уравнения. Упражнения для повторения курса алгебры 8 класса - номер 911, страница 225.

Условие.

911. Упростите выражение:

$\frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{8} + \sqrt{5}} + \frac{1}{\sqrt{11} + \sqrt{8}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{50} + \sqrt{47}}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Для упрощения данного выражения мы будем работать с каждым слагаемым отдельно, избавляясь от иррациональности в знаменателе. Общий вид каждого слагаемого — это дробь $ \frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} $. Чтобы упростить такую дробь, нужно умножить ее числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю, то есть на $ \sqrt{a} - \sqrt{b} $. В результате мы используем формулу разности квадратов $ (x+y)(x-y) = x^2 - y^2 $.

Рассмотрим общий случай:

$ \frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} = \frac{1 \cdot (\sqrt{a} - \sqrt{b})}{(\sqrt{a} + \sqrt{b})(\sqrt{a} - \sqrt{b})} = \frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{(\sqrt{a})^2 - (\sqrt{b})^2} = \frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{a - b} $

Теперь применим этот метод к каждому члену нашей суммы. Заметим, что для всех дробей в выражении разность подкоренных чисел в знаменателе одна и та же:

$ 5-2=3 $

$ 8-5=3 $

$ 11-8=3 $

...и так далее до последнего члена...

$ 50-47=3 $

Таким образом, знаменатель каждой преобразованной дроби будет равен 3.

Преобразуем каждое слагаемое:

$ \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{2}}{5-2} = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{2}}{3} $

$ \frac{1}{\sqrt{8} + \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{8} - \sqrt{5}}{8-5} = \frac{\sqrt{8} - \sqrt{5}}{3} $

$ \frac{1}{\sqrt{11} + \sqrt{8}} = \frac{\sqrt{11} - \sqrt{8}}{11-8} = \frac{\sqrt{11} - \sqrt{8}}{3} $

И так для всех членов до последнего:

$ \frac{1}{\sqrt{50} + \sqrt{47}} = \frac{\sqrt{50} - \sqrt{47}}{50-47} = \frac{\sqrt{50} - \sqrt{47}}{3} $

Теперь запишем исходное выражение как сумму преобразованных дробей:

$ \frac{\sqrt{5} - \sqrt{2}}{3} + \frac{\sqrt{8} - \sqrt{5}}{3} + \frac{\sqrt{11} - \sqrt{8}}{3} + \dots + \frac{\sqrt{50} - \sqrt{47}}{3} $

Мы можем вынести общий множитель $ \frac{1}{3} $ за скобки:

$ \frac{1}{3} \left( (\sqrt{5} - \sqrt{2}) + (\sqrt{8} - \sqrt{5}) + (\sqrt{11} - \sqrt{8}) + \dots + (\sqrt{50} - \sqrt{47}) \right) $

Выражение в скобках представляет собой телескопическую сумму. Если мы раскроем скобки, то увидим, что многие члены взаимно уничтожаются:

$ \frac{1}{3} ( -\sqrt{2} + \sqrt{5} - \sqrt{5} + \sqrt{8} - \sqrt{8} + \sqrt{11} + \dots - \sqrt{47} + \sqrt{50} ) $

Член $ +\sqrt{5} $ сокращается с $ -\sqrt{5} $, член $ +\sqrt{8} $ с $ -\sqrt{8} $, и так далее. Все промежуточные члены сокращаются. В итоге в скобках остаются только первый и последний члены: $ -\sqrt{2} $ и $ +\sqrt{50} $.

Таким образом, сумма в скобках равна $ \sqrt{50} - \sqrt{2} $. Подставим это обратно в наше выражение:

$ \frac{1}{3} (\sqrt{50} - \sqrt{2}) $

Для окончательного ответа упростим $ \sqrt{50} $. Мы можем разложить 50 на множители: $ 50 = 25 \cdot 2 $. Тогда:

$ \sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{2} = 5\sqrt{2} $

Подставим это значение в наше выражение:

$ \frac{1}{3} (5\sqrt{2} - \sqrt{2}) = \frac{1}{3} (4\sqrt{2}) = \frac{4\sqrt{2}}{3} $

Ответ: $ \frac{4\sqrt{2}}{3} $