Номер 906, страница 224 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Квадратные уравнения. Упражнения для повторения курса алгебры 8 класса - номер 906, страница 224.

Условие.

906. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:

1) $\frac{a^3}{\sqrt{b}}$;

2) $\frac{7}{a\sqrt{a}}$;

3) $\frac{2}{\sqrt{13}}$;

4) $\frac{6}{\sqrt{3}}$;

5) $\frac{n+9}{\sqrt{n+9}}$;

6) $\frac{3}{\sqrt{13}-2}$;

7) $\frac{6}{\sqrt{21}+\sqrt{15}}$;

8) $\frac{18}{\sqrt{47}-\sqrt{29}}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Чтобы освободиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{a^3}{\sqrt{b}}$, необходимо умножить числитель и знаменатель этой дроби на $\sqrt{b}$. Это позволит избавиться от квадратного корня в знаменателе, так как $\sqrt{b} \cdot \sqrt{b} = b$.

Выполним умножение:

$\frac{a^3}{\sqrt{b}} = \frac{a^3 \cdot \sqrt{b}}{\sqrt{b} \cdot \sqrt{b}} = \frac{a^3\sqrt{b}}{b}$

При этом подразумевается, что $b>0$, чтобы выражение имело смысл.

Ответ: $\frac{a^3\sqrt{b}}{b}$.

2) Для дроби $\frac{7}{a\sqrt{a}}$ иррациональность в знаменателе создается множителем $\sqrt{a}$. Умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{a}$.

Выполним преобразование:

$\frac{7}{a\sqrt{a}} = \frac{7 \cdot \sqrt{a}}{a\sqrt{a} \cdot \sqrt{a}} = \frac{7\sqrt{a}}{a \cdot (\sqrt{a})^2} = \frac{7\sqrt{a}}{a \cdot a} = \frac{7\sqrt{a}}{a^2}$

При этом подразумевается, что $a>0$.

Ответ: $\frac{7\sqrt{a}}{a^2}$.

3) В дроби $\frac{2}{\sqrt{13}}$ знаменатель является иррациональным числом. Чтобы избавиться от корня, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{13}$.

$\frac{2}{\sqrt{13}} = \frac{2 \cdot \sqrt{13}}{\sqrt{13} \cdot \sqrt{13}} = \frac{2\sqrt{13}}{13}$

Ответ: $\frac{2\sqrt{13}}{13}$.

4) В дроби $\frac{6}{\sqrt{3}}$ умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$.

$\frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3}$

Полученное выражение можно сократить, разделив числитель и знаменатель на 3:

$\frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$

Ответ: $2\sqrt{3}$.

5) В дроби $\frac{n+9}{\sqrt{n+9}}$ знаменатель содержит корень. Можно заметить, что числитель $n+9$ можно представить как $(\sqrt{n+9})^2$.

$\frac{n+9}{\sqrt{n+9}} = \frac{(\sqrt{n+9})^2}{\sqrt{n+9}}$

Теперь можно сократить дробь на $\sqrt{n+9}$:

$\frac{(\sqrt{n+9})^2}{\sqrt{n+9}} = \sqrt{n+9}$

Это возможно при условии, что $n+9 > 0$.

Ответ: $\sqrt{n+9}$.

6) Знаменатель дроби $\frac{3}{\sqrt{13}-2}$ представляет собой разность. Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, нужно умножить числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю. Сопряженным для $\sqrt{13}-2$ является $\sqrt{13}+2$. При умножении используем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$.

$\frac{3}{\sqrt{13}-2} = \frac{3 \cdot (\sqrt{13}+2)}{(\sqrt{13}-2)(\sqrt{13}+2)} = \frac{3(\sqrt{13}+2)}{(\sqrt{13})^2 - 2^2} = \frac{3(\sqrt{13}+2)}{13 - 4} = \frac{3(\sqrt{13}+2)}{9}$

Сократим полученную дробь на 3:

$\frac{3(\sqrt{13}+2)}{9} = \frac{\sqrt{13}+2}{3}$

Ответ: $\frac{\sqrt{13}+2}{3}$.

7) Знаменатель дроби $\frac{6}{\sqrt{21}+\sqrt{15}}$ является суммой корней. Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $\sqrt{21}-\sqrt{15}$, используя формулу разности квадратов.

$\frac{6}{\sqrt{21}+\sqrt{15}} = \frac{6(\sqrt{21}-\sqrt{15})}{(\sqrt{21}+\sqrt{15})(\sqrt{21}-\sqrt{15})} = \frac{6(\sqrt{21}-\sqrt{15})}{(\sqrt{21})^2 - (\sqrt{15})^2} = \frac{6(\sqrt{21}-\sqrt{15})}{21 - 15} = \frac{6(\sqrt{21}-\sqrt{15})}{6}$

Сократим дробь на 6:

$\sqrt{21}-\sqrt{15}$

Ответ: $\sqrt{21}-\sqrt{15}$.

8) Знаменатель дроби $\frac{18}{\sqrt{47}-\sqrt{29}}$ является разностью корней. Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $\sqrt{47}+\sqrt{29}$, используя формулу разности квадратов.

$\frac{18}{\sqrt{47}-\sqrt{29}} = \frac{18(\sqrt{47}+\sqrt{29})}{(\sqrt{47}-\sqrt{29})(\sqrt{47}+\sqrt{29})} = \frac{18(\sqrt{47}+\sqrt{29})}{(\sqrt{47})^2 - (\sqrt{29})^2} = \frac{18(\sqrt{47}+\sqrt{29})}{47 - 29} = \frac{18(\sqrt{47}+\sqrt{29})}{18}$

Сократим дробь на 18:

$\sqrt{47}+\sqrt{29}$

Ответ: $\sqrt{47}+\sqrt{29}$.