Страница 224 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

899. Вынесите множитель из-под знака корня:

1) $\sqrt{10a^2}$, если $a \ge 0;$

2) $\sqrt{15b^2}$, если $b \le 0;$

3) $\sqrt{x^{11}y^{12}}$, если $y \ne 0;$

4) $\sqrt{36m^2n}$, если $m < 0;$

5) $\sqrt{4x^6y^5}$, если $x > 0;$

6) $\sqrt{700a^5b^{22}}$, если $b < 0.$

1) Для вынесения множителя из-под знака корня воспользуемся свойством $\sqrt{x^2} = |x|$.

Выражение $\sqrt{10a^2}$ можно переписать как $\sqrt{10} \cdot \sqrt{a^2}$.

Применяя свойство, получаем $\sqrt{a^2} = |a|$.

По условию задачи $a \ge 0$, следовательно, $|a| = a$.

Таким образом, $\sqrt{10a^2} = |a|\sqrt{10} = a\sqrt{10}$.

Ответ: $a\sqrt{10}$

2) Аналогично предыдущему пункту, преобразуем выражение $\sqrt{15b^2}$.

$\sqrt{15b^2} = \sqrt{15} \cdot \sqrt{b^2} = \sqrt{15} \cdot |b|$.

По условию задачи $b \le 0$, следовательно, $|b| = -b$.

Подставляем это в выражение: $\sqrt{15} \cdot (-b) = -b\sqrt{15}$.

Ответ: $-b\sqrt{15}$

3) Рассмотрим выражение $\sqrt{x^{11}y^{12}}$. Чтобы корень был определен, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x^{11}y^{12} \ge 0$. Поскольку $y^{12} = (y^6)^2 \ge 0$ (и по условию $y \ne 0$, значит $y^{12} > 0$), то для выполнения неравенства необходимо, чтобы $x^{11} \ge 0$, что означает $x \ge 0$.

Представим множители с четными степенями:

$\sqrt{x^{11}y^{12}} = \sqrt{x^{10} \cdot x \cdot y^{12}} = \sqrt{x^{10}} \cdot \sqrt{y^{12}} \cdot \sqrt{x}$.

Теперь вынесем множители из-под корня:

$\sqrt{x^{10}} = \sqrt{(x^5)^2} = |x^5|$. Так как $x \ge 0$, то $x^5 \ge 0$, и $|x^5| = x^5$.

$\sqrt{y^{12}} = \sqrt{(y^6)^2} = |y^6|$. Так как $y^6$ всегда неотрицательно, то $|y^6| = y^6$.

Собираем все вместе: $x^5 \cdot y^6 \cdot \sqrt{x} = x^5y^6\sqrt{x}$.

Ответ: $x^5y^6\sqrt{x}$

4) Рассмотрим выражение $\sqrt{36m^2n}$. Для его определения необходимо, чтобы $36m^2n \ge 0$. Так как $36 > 0$ и $m^2 \ge 0$, то должно выполняться условие $n \ge 0$.

Преобразуем выражение: $\sqrt{36m^2n} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{m^2} \cdot \sqrt{n} = 6 \cdot |m| \cdot \sqrt{n}$.

По условию задачи $m < 0$, следовательно, $|m| = -m$.

Подставляем в полученное выражение: $6 \cdot (-m) \cdot \sqrt{n} = -6m\sqrt{n}$.

Ответ: $-6m\sqrt{n}$

5) Рассмотрим выражение $\sqrt{4x^6y^5}$. Для его определения $4x^6y^5 \ge 0$. Так как $4 > 0$ и $x^6 \ge 0$, то необходимо $y^5 \ge 0$, что означает $y \ge 0$.

Представим множители с четными степенями:

$\sqrt{4x^6y^5} = \sqrt{4 \cdot x^6 \cdot y^4 \cdot y} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{x^6} \cdot \sqrt{y^4} \cdot \sqrt{y}$.

Вынесем множители из-под корня:

$\sqrt{4} = 2$.

$\sqrt{x^6} = \sqrt{(x^3)^2} = |x^3|$. По условию $x > 0$, значит $x^3 > 0$, и $|x^3| = x^3$.

$\sqrt{y^4} = \sqrt{(y^2)^2} = |y^2|$. Так как $y^2$ всегда неотрицательно, то $|y^2| = y^2$.

Собираем все вместе: $2 \cdot x^3 \cdot y^2 \cdot \sqrt{y} = 2x^3y^2\sqrt{y}$.

Ответ: $2x^3y^2\sqrt{y}$

6) Рассмотрим выражение $\sqrt{700a^5b^{22}}$. Для его определения $700a^5b^{22} \ge 0$. Так как $700 > 0$ и $b^{22} \ge 0$, то необходимо $a^5 \ge 0$, что означает $a \ge 0$.

Представим множители с четными степенями и выделим полный квадрат из числа 700:

$\sqrt{700a^5b^{22}} = \sqrt{100 \cdot 7 \cdot a^4 \cdot a \cdot b^{22}} = \sqrt{100} \cdot \sqrt{a^4} \cdot \sqrt{b^{22}} \cdot \sqrt{7a}$.

Вынесем множители из-под корня:

$\sqrt{100} = 10$.

$\sqrt{a^4} = \sqrt{(a^2)^2} = |a^2| = a^2$.

$\sqrt{b^{22}} = \sqrt{(b^{11})^2} = |b^{11}|$. По условию $b < 0$, значит $b^{11}$ (нечетная степень) будет отрицательным числом, $b^{11} < 0$. Следовательно, $|b^{11}| = -b^{11}$.

Собираем все вместе: $10 \cdot a^2 \cdot (-b^{11}) \cdot \sqrt{7a} = -10a^2b^{11}\sqrt{7a}$.

Ответ: $-10a^2b^{11}\sqrt{7a}$

900. Внесите множитель под знак корня:

1) $3\sqrt{10}$;

2) $2\sqrt{13}$;

3) $0,3\sqrt{3}$;

4) $\frac{1}{5}\sqrt{175}$;

5) $\frac{2}{7}\sqrt{98}$;

6) $-5\sqrt{7}$;

7) $-0,5\sqrt{30}$;

8) $4\sqrt{a}$.

1) Чтобы внести положительный множитель под знак квадратного корня, необходимо возвести этот множитель в квадрат и умножить его на подкоренное выражение.
$3\sqrt{10} = \sqrt{3^2 \cdot 10} = \sqrt{9 \cdot 10} = \sqrt{90}$.
Ответ: $\sqrt{90}$.

2) Внесем множитель 2 под знак корня, возведя его в квадрат.
$2\sqrt{13} = \sqrt{2^2 \cdot 13} = \sqrt{4 \cdot 13} = \sqrt{52}$.
Ответ: $\sqrt{52}$.

3) Внесем множитель 0,3 под знак корня.
$0,3\sqrt{3} = \sqrt{(0,3)^2 \cdot 3} = \sqrt{0,09 \cdot 3} = \sqrt{0,27}$.
Ответ: $\sqrt{0,27}$.

4) Внесем дробный множитель $\frac{1}{5}$ под знак корня.
$\frac{1}{5}\sqrt{175} = \sqrt{(\frac{1}{5})^2 \cdot 175} = \sqrt{\frac{1}{25} \cdot 175} = \sqrt{\frac{175}{25}} = \sqrt{7}$.
Ответ: $\sqrt{7}$.

5) Внесем множитель $\frac{2}{7}$ под знак корня.
$\frac{2}{7}\sqrt{98} = \sqrt{(\frac{2}{7})^2 \cdot 98} = \sqrt{\frac{4}{49} \cdot 98} = \sqrt{4 \cdot \frac{98}{49}} = \sqrt{4 \cdot 2} = \sqrt{8}$.
Ответ: $\sqrt{8}$.

6) Если множитель перед корнем отрицательный, то знак "минус" остается перед корнем, а под корень вносится модуль этого множителя, возведенный в квадрат.
$-5\sqrt{7} = -\sqrt{5^2 \cdot 7} = -\sqrt{25 \cdot 7} = -\sqrt{175}$.
Ответ: $-\sqrt{175}$.

7) Аналогично предыдущему примеру, знак "минус" оставляем перед корнем.
$-0,5\sqrt{30} = -\sqrt{(0,5)^2 \cdot 30} = -\sqrt{0,25 \cdot 30} = -\sqrt{7,5}$.
Ответ: $-\sqrt{7,5}$.

8) Вносим множитель 4 под знак корня. Данное преобразование имеет смысл при $a \ge 0$.
$4\sqrt{a} = \sqrt{4^2 \cdot a} = \sqrt{16a}$.
Ответ: $\sqrt{16a}$.

901. Внесите множитель под знак корня:

1) $a\sqrt{5}$;

2) $b\sqrt{-b}$;

3) $x\sqrt{x^7}$;

4) $n\sqrt{m}$, если $n \le 0$.

1) Чтобы внести множитель $a$ под знак корня в выражении $a\sqrt{5}$, необходимо рассмотреть два случая, так как знак переменной $a$ не указан.

Случай 1: $a \ge 0$ (множитель неотрицательный).
В этом случае мы можем представить $a$ как $\sqrt{a^2}$. Тогда выражение преобразуется следующим образом:
$a\sqrt{5} = \sqrt{a^2} \cdot \sqrt{5} = \sqrt{a^2 \cdot 5} = \sqrt{5a^2}$.

Случай 2: $a < 0$ (множитель отрицательный).
В этом случае множитель $a$ отрицателен. Мы представляем его как $a = -(-a)$, где $-a > 0$.
$a\sqrt{5} = -(-a)\sqrt{5}$.
Теперь неотрицательный множитель $(-a)$ можно внести под корень: $-a = \sqrt{(-a)^2} = \sqrt{a^2}$.
Следовательно, $a\sqrt{5} = -\sqrt{(-a)^2 \cdot 5} = -\sqrt{a^2 \cdot 5} = -\sqrt{5a^2}$.

Таким образом, результат зависит от знака $a$.

Ответ: $\sqrt{5a^2}$, если $a \ge 0$; $-\sqrt{5a^2}$, если $a < 0$.

2) Рассмотрим выражение $b\sqrt{-b}$.

Для того чтобы выражение имело смысл в действительных числах, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $-b \ge 0$, что означает $b \le 0$.

Таким образом, множитель $b$ является неположительным. Если $b=0$, выражение равно нулю. Если $b < 0$, множитель $b$ отрицателен. Применяем правило для внесения отрицательного множителя под знак корня: оставляем знак «минус» перед корнем, а под корень вносим квадрат модуля множителя. $b\sqrt{-b} = -\sqrt{b^2 \cdot (-b)} = -\sqrt{-b^3}$.

Эта формула верна для всех $b \le 0$, так как при $b=0$ обе части равенства равны нулю.

Ответ: $-\sqrt{-b^3}$.

3) Рассмотрим выражение $x\sqrt{x^7}$.

Подкоренное выражение $x^7$ должно быть неотрицательным, то есть $x^7 \ge 0$. Это условие выполняется при $x \ge 0$.

Поскольку множитель $x$ является неотрицательным, мы можем внести его под знак корня, возведя в квадрат: $x\sqrt{x^7} = \sqrt{x^2 \cdot x^7}$.

Используя свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, упростим выражение под корнем: $\sqrt{x^2 \cdot x^7} = \sqrt{x^{2+7}} = \sqrt{x^9}$.

Ответ: $\sqrt{x^9}$.

4) Рассмотрим выражение $n\sqrt{m}$ при условии, что $n \le 0$.

Для существования корня также необходимо, чтобы $m \ge 0$. В условии задачи дано, что множитель $n$ является неположительным ($n \le 0$).

Если $n=0$, выражение равно $0\sqrt{m} = 0$. Если $n < 0$, множитель $n$ отрицателен. Для внесения отрицательного множителя под корень, мы оставляем знак «минус» перед корнем, а под корень вносим квадрат модуля множителя: $n\sqrt{m} = -|n|\sqrt{m} = -\sqrt{|n|^2 \cdot m}$.

Так как $|n|^2 = n^2$, получаем: $n\sqrt{m} = -\sqrt{n^2 \cdot m} = -\sqrt{n^2m}$. Эта формула верна и для случая $n=0$, так как $-\sqrt{0^2 \cdot m} = -\sqrt{0} = 0$.

Ответ: $-\sqrt{n^2m}$.

902. Сравните числа:

1) $5\sqrt{6}$ и $6\sqrt{5}$;

2) $\sqrt{55}$ и $3\sqrt{6}$;

3) $0,3\sqrt{3\frac{1}{2}}$ и $\sqrt{0,3}$;

4) $\frac{3}{7}\sqrt{16\frac{1}{3}}$ и $\frac{3}{4}\sqrt{5\frac{1}{3}}$.

1) Чтобы сравнить числа $5\sqrt{6}$ и $6\sqrt{5}$, внесем множители под знак корня. Для этого возведем множитель перед корнем в квадрат и умножим его на подкоренное выражение. Так как оба числа положительны, больше то число, у которого подкоренное выражение больше.

Для первого числа: $5\sqrt{6} = \sqrt{5^2 \cdot 6} = \sqrt{25 \cdot 6} = \sqrt{150}$.

Для второго числа: $6\sqrt{5} = \sqrt{6^2 \cdot 5} = \sqrt{36 \cdot 5} = \sqrt{180}$.

Теперь сравним полученные подкоренные выражения: $150$ и $180$.

Так как $150 < 180$, то и $\sqrt{150} < \sqrt{180}$.

Следовательно, $5\sqrt{6} < 6\sqrt{5}$.

Ответ: $5\sqrt{6} < 6\sqrt{5}$.

2) Сравним числа $\sqrt{55}$ и $3\sqrt{6}$. Для этого представим второе число в виде корня, внеся множитель $3$ под знак корня.

$3\sqrt{6} = \sqrt{3^2 \cdot 6} = \sqrt{9 \cdot 6} = \sqrt{54}$.

Теперь сравним $\sqrt{55}$ и $\sqrt{54}$.

Так как $55 > 54$, то $\sqrt{55} > \sqrt{54}$.

Следовательно, $\sqrt{55} > 3\sqrt{6}$.

Ответ: $\sqrt{55} > 3\sqrt{6}$.

3) Сравним числа $0,3\sqrt{3\frac{1}{2}}$ и $\sqrt{0,3}$. Так как оба числа положительны, мы можем сравнить их квадраты. Знак неравенства при этом сохранится.

Возведем в квадрат первое число: $(0,3\sqrt{3\frac{1}{2}})^2 = 0,3^2 \cdot (\sqrt{3\frac{1}{2}})^2 = 0,09 \cdot 3\frac{1}{2}$.

Переведем смешанное число в десятичную дробь: $3\frac{1}{2} = 3,5$.

Вычислим значение: $0,09 \cdot 3,5 = 0,315$.

Возведем в квадрат второе число: $(\sqrt{0,3})^2 = 0,3$.

Теперь сравним полученные результаты: $0,315$ и $0,3$.

Так как $0,315 > 0,3$, то и $(0,3\sqrt{3\frac{1}{2}})^2 > (\sqrt{0,3})^2$.

Следовательно, $0,3\sqrt{3\frac{1}{2}} > \sqrt{0,3}$.

Ответ: $0,3\sqrt{3\frac{1}{2}} > \sqrt{0,3}$.

4) Сравним числа $\frac{3}{7}\sqrt{16\frac{1}{3}}$ и $\frac{3}{4}\sqrt{5\frac{1}{3}}$. Сначала преобразуем смешанные числа под корнями в неправильные дроби.

$16\frac{1}{3} = \frac{16 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{49}{3}$.

$5\frac{1}{3} = \frac{5 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{16}{3}$.

Теперь наши выражения выглядят так: $\frac{3}{7}\sqrt{\frac{49}{3}}$ и $\frac{3}{4}\sqrt{\frac{16}{3}}$.

Упростим каждое выражение:

$\frac{3}{7}\sqrt{\frac{49}{3}} = \frac{3}{7} \cdot \frac{\sqrt{49}}{\sqrt{3}} = \frac{3}{7} \cdot \frac{7}{\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{(\sqrt{3})^2} = \frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}$.

$\frac{3}{4}\sqrt{\frac{16}{3}} = \frac{3}{4} \cdot \frac{\sqrt{16}}{\sqrt{3}} = \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{(\sqrt{3})^2} = \frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}$.

Оба выражения равны $\sqrt{3}$.

Следовательно, числа равны.

Ответ: $\frac{3}{7}\sqrt{16\frac{1}{3}} = \frac{3}{4}\sqrt{5\frac{1}{3}}$.

903. Упростите выражение:

1) $\sqrt{64a} + \sqrt{4a} - \sqrt{121a};$

2) $\sqrt{45} + \sqrt{20} - \sqrt{320};$

3) $6\sqrt{125a} - 2\sqrt{80a} + 3\sqrt{180a}.$

1) Для упрощения выражения $ \sqrt{64a} + \sqrt{4a} - \sqrt{121a} $, воспользуемся свойством корня из произведения $ \sqrt{xy} = \sqrt{x} \cdot \sqrt{y} $. Вынесем числовые множители из-под знака корня в каждом слагаемом. Предполагается, что $ a \ge 0 $.

Упростим каждый член выражения:

$ \sqrt{64a} = \sqrt{64} \cdot \sqrt{a} = 8\sqrt{a} $

$ \sqrt{4a} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{a} = 2\sqrt{a} $

$ \sqrt{121a} = \sqrt{121} \cdot \sqrt{a} = 11\sqrt{a} $

Теперь подставим упрощенные члены обратно в исходное выражение и приведем подобные слагаемые:

$ 8\sqrt{a} + 2\sqrt{a} - 11\sqrt{a} = (8 + 2 - 11)\sqrt{a} = (10 - 11)\sqrt{a} = -1 \cdot \sqrt{a} = -\sqrt{a} $

Ответ: $ -\sqrt{a} $

2) Для упрощения выражения $ \sqrt{45} + \sqrt{20} - \sqrt{320} $ разложим каждое подкоренное выражение на множители так, чтобы один из множителей был наибольшим возможным квадратом целого числа.

Упростим каждый член выражения:

$ \sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{5} = 3\sqrt{5} $

$ \sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{5} = 2\sqrt{5} $

$ \sqrt{320} = \sqrt{64 \cdot 5} = \sqrt{64} \cdot \sqrt{5} = 8\sqrt{5} $

Подставим полученные значения в выражение и выполним действия:

$ 3\sqrt{5} + 2\sqrt{5} - 8\sqrt{5} = (3 + 2 - 8)\sqrt{5} = (5 - 8)\sqrt{5} = -3\sqrt{5} $

Ответ: $ -3\sqrt{5} $

3) Для упрощения выражения $ 6\sqrt{125a} - 2\sqrt{80a} + 3\sqrt{180a} $ сначала вынесем множители из-под знака корня, а затем приведем подобные слагаемые. Предполагается, что $ a \ge 0 $.

Упростим каждый член выражения по отдельности:

$ 6\sqrt{125a} = 6\sqrt{25 \cdot 5a} = 6 \cdot \sqrt{25} \cdot \sqrt{5a} = 6 \cdot 5\sqrt{5a} = 30\sqrt{5a} $

$ 2\sqrt{80a} = 2\sqrt{16 \cdot 5a} = 2 \cdot \sqrt{16} \cdot \sqrt{5a} = 2 \cdot 4\sqrt{5a} = 8\sqrt{5a} $

$ 3\sqrt{180a} = 3\sqrt{36 \cdot 5a} = 3 \cdot \sqrt{36} \cdot \sqrt{5a} = 3 \cdot 6\sqrt{5a} = 18\sqrt{5a} $

Теперь подставим упрощенные члены в исходное выражение:

$ 30\sqrt{5a} - 8\sqrt{5a} + 18\sqrt{5a} = (30 - 8 + 18)\sqrt{5a} = (22 + 18)\sqrt{5a} = 40\sqrt{5a} $

Ответ: $ 40\sqrt{5a} $

904. Выполните умножение:

1) $(\sqrt{80} - \sqrt{45})\sqrt{5};$

2) $(2\sqrt{6} + \sqrt{54} - \sqrt{96})\sqrt{6};$

3) $(12 - \sqrt{10})(3 + \sqrt{10});$

4) $(2\sqrt{5} + \sqrt{7})(2\sqrt{7} - \sqrt{5});$

5) $(\sqrt{19} - \sqrt{13})(\sqrt{19} + \sqrt{13});$

6) $(4\sqrt{m} + 9\sqrt{n})(4\sqrt{m} - 9\sqrt{n});$

7) $(\sqrt{5x} + \sqrt{11y})^2;$

8) $(3\sqrt{11} - 2\sqrt{10})^2.$

1) Для решения выражения $(\sqrt{80} - \sqrt{45})\sqrt{5}$ раскроем скобки, умножив $\sqrt{5}$ на каждый член в скобках. Используем свойство $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$.

$(\sqrt{80} - \sqrt{45})\sqrt{5} = \sqrt{80} \cdot \sqrt{5} - \sqrt{45} \cdot \sqrt{5} = \sqrt{80 \cdot 5} - \sqrt{45 \cdot 5} = \sqrt{400} - \sqrt{225}$.

Теперь извлечем квадратные корни:

$20 - 15 = 5$.

Ответ: $5$

2) Для решения выражения $(2\sqrt{6} + \sqrt{54} - \sqrt{96})\sqrt{6}$ сначала упростим корни в скобках, вынеся множитель из-под знака корня.

$\sqrt{54} = \sqrt{9 \cdot 6} = 3\sqrt{6}$

$\sqrt{96} = \sqrt{16 \cdot 6} = 4\sqrt{6}$

Подставим упрощенные значения в исходное выражение:

$(2\sqrt{6} + 3\sqrt{6} - 4\sqrt{6})\sqrt{6}$

Приведем подобные слагаемые в скобках:

$((2+3-4)\sqrt{6})\sqrt{6} = (1\sqrt{6})\sqrt{6} = \sqrt{6} \cdot \sqrt{6} = 6$.

Ответ: $6$

3) Раскроем скобки в выражении $(12 - \sqrt{10})(3 + \sqrt{10})$, умножив каждый член первой скобки на каждый член второй скобки.

$(12 - \sqrt{10})(3 + \sqrt{10}) = 12 \cdot 3 + 12 \cdot \sqrt{10} - \sqrt{10} \cdot 3 - \sqrt{10} \cdot \sqrt{10} = 36 + 12\sqrt{10} - 3\sqrt{10} - 10$.

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(36 - 10) + (12\sqrt{10} - 3\sqrt{10}) = 26 + 9\sqrt{10}$.

Ответ: $26 + 9\sqrt{10}$

4) Раскроем скобки в выражении $(2\sqrt{5} + \sqrt{7})(2\sqrt{7} - \sqrt{5})$ по правилу умножения многочленов.

$(2\sqrt{5})(2\sqrt{7}) + (2\sqrt{5})(-\sqrt{5}) + (\sqrt{7})(2\sqrt{7}) + (\sqrt{7})(-\sqrt{5})$.

Выполним умножение:

$4\sqrt{35} - 2(\sqrt{5})^2 + 2(\sqrt{7})^2 - \sqrt{35} = 4\sqrt{35} - 2 \cdot 5 + 2 \cdot 7 - \sqrt{35} = 4\sqrt{35} - 10 + 14 - \sqrt{35}$.

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(14 - 10) + (4\sqrt{35} - \sqrt{35}) = 4 + 3\sqrt{35}$.

Ответ: $4 + 3\sqrt{35}$

5) Воспользуемся формулой сокращенного умножения "разность квадратов": $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$, где $a = \sqrt{19}$ и $b = \sqrt{13}$.

$(\sqrt{19} - \sqrt{13})(\sqrt{19} + \sqrt{13}) = (\sqrt{19})^2 - (\sqrt{13})^2 = 19 - 13 = 6$.

Ответ: $6$

6) Применим формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$, где $a = 4\sqrt{m}$ и $b = 9\sqrt{n}$.

$(4\sqrt{m} + 9\sqrt{n})(4\sqrt{m} - 9\sqrt{n}) = (4\sqrt{m})^2 - (9\sqrt{n})^2 = 4^2(\sqrt{m})^2 - 9^2(\sqrt{n})^2 = 16m - 81n$.

Ответ: $16m - 81n$

7) Воспользуемся формулой сокращенного умножения "квадрат суммы": $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, где $a = \sqrt{5x}$ и $b = \sqrt{11y}$.

$(\sqrt{5x} + \sqrt{11y})^2 = (\sqrt{5x})^2 + 2 \cdot \sqrt{5x} \cdot \sqrt{11y} + (\sqrt{11y})^2 = 5x + 2\sqrt{5x \cdot 11y} + 11y = 5x + 2\sqrt{55xy} + 11y$.

Ответ: $5x + 11y + 2\sqrt{55xy}$

8) Применим формулу сокращенного умножения "квадрат разности": $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, где $a = 3\sqrt{11}$ и $b = 2\sqrt{10}$.

$(3\sqrt{11} - 2\sqrt{10})^2 = (3\sqrt{11})^2 - 2 \cdot (3\sqrt{11}) \cdot (2\sqrt{10}) + (2\sqrt{10})^2 = 3^2(\sqrt{11})^2 - 12\sqrt{11 \cdot 10} + 2^2(\sqrt{10})^2$.

Упростим выражение:

$9 \cdot 11 - 12\sqrt{110} + 4 \cdot 10 = 99 - 12\sqrt{110} + 40$.

Сложим числовые члены:

$99 + 40 - 12\sqrt{110} = 139 - 12\sqrt{110}$.

Ответ: $139 - 12\sqrt{110}$

905. Сократите дробь:

1) $ \frac{x^2 - 19}{x + \sqrt{19}} $;

2) $ \frac{\sqrt{x} - 6}{x - 36} $;

3) $ \frac{m + 8\sqrt{m}}{m - 64} $;

4) $ \frac{29 - \sqrt{29}}{\sqrt{29}} $;

5) $ \frac{a - 6\sqrt{ab} + 9b}{a - 9b} $, если $ a > 0, b > 0 $;

6) $ \frac{11 - \sqrt{33}}{\sqrt{33} - 3} $.

1) Для сокращения дроби $\frac{x^2 - 19}{x + \sqrt{19}}$ воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.
Представим числитель $x^2 - 19$ как разность квадратов, заметив, что $19 = (\sqrt{19})^2$.
$x^2 - 19 = x^2 - (\sqrt{19})^2 = (x - \sqrt{19})(x + \sqrt{19})$.
Теперь подставим разложенный числитель обратно в дробь:
$\frac{(x - \sqrt{19})(x + \sqrt{19})}{x + \sqrt{19}}$
Сокращаем общий множитель $(x + \sqrt{19})$ в числителе и знаменателе. В результате получаем:
$x - \sqrt{19}$.
Ответ: $x - \sqrt{19}$

2) Чтобы сократить дробь $\frac{\sqrt{x} - 6}{x - 36}$, представим знаменатель в виде разности квадратов. Так как $x = (\sqrt{x})^2$ (при $x \ge 0$) и $36 = 6^2$, то знаменатель можно записать как:
$x - 36 = (\sqrt{x})^2 - 6^2 = (\sqrt{x} - 6)(\sqrt{x} + 6)$.
Подставим это выражение в исходную дробь:
$\frac{\sqrt{x} - 6}{(\sqrt{x} - 6)(\sqrt{x} + 6)}$
Сократим общий множитель $(\sqrt{x} - 6)$:
$\frac{1}{\sqrt{x} + 6}$.
Ответ: $\frac{1}{\sqrt{x} + 6}$

3) Для сокращения дроби $\frac{m + 8\sqrt{m}}{m - 64}$ разложим на множители числитель и знаменатель.
В числителе вынесем за скобки общий множитель $\sqrt{m}$ (при $m \ge 0$):
$m + 8\sqrt{m} = (\sqrt{m})^2 + 8\sqrt{m} = \sqrt{m}(\sqrt{m} + 8)$.
Знаменатель $m - 64$ является разностью квадратов:
$m - 64 = (\sqrt{m})^2 - 8^2 = (\sqrt{m} - 8)(\sqrt{m} + 8)$.
Запишем дробь с разложенными числителем и знаменателем:
$\frac{\sqrt{m}(\sqrt{m} + 8)}{(\sqrt{m} - 8)(\sqrt{m} + 8)}$
Сократим общий множитель $(\sqrt{m} + 8)$:
$\frac{\sqrt{m}}{\sqrt{m} - 8}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{m}}{\sqrt{m} - 8}$

4) Чтобы сократить дробь $\frac{29 - \sqrt{29}}{\sqrt{29}}$, вынесем в числителе за скобки общий множитель.
Представим число $29$ как $(\sqrt{29})^2$.
$29 - \sqrt{29} = (\sqrt{29})^2 - \sqrt{29} = \sqrt{29}(\sqrt{29} - 1)$.
Подставим полученное выражение в дробь:
$\frac{\sqrt{29}(\sqrt{29} - 1)}{\sqrt{29}}$
Сократим общий множитель $\sqrt{29}$:
$\sqrt{29} - 1$.
Ответ: $\sqrt{29} - 1$

5) Чтобы сократить дробь $\frac{a - 6\sqrt{ab} + 9b}{a - 9b}$, где $a > 0, b > 0$, разложим на множители числитель и знаменатель.
Числитель $a - 6\sqrt{ab} + 9b$ является полным квадратом разности. Убедимся в этом:
$a = (\sqrt{a})^2$, $9b = (3\sqrt{b})^2$, а средний член $6\sqrt{ab} = 2 \cdot \sqrt{a} \cdot 3\sqrt{b}$.
Следовательно, $a - 6\sqrt{ab} + 9b = (\sqrt{a} - 3\sqrt{b})^2$.
Знаменатель $a - 9b$ — это разность квадратов:
$a - 9b = (\sqrt{a})^2 - (3\sqrt{b})^2 = (\sqrt{a} - 3\sqrt{b})(\sqrt{a} + 3\sqrt{b})$.
Подставим разложения в дробь:
$\frac{(\sqrt{a} - 3\sqrt{b})^2}{(\sqrt{a} - 3\sqrt{b})(\sqrt{a} + 3\sqrt{b})}$
Сократим общий множитель $(\sqrt{a} - 3\sqrt{b})$:
$\frac{\sqrt{a} - 3\sqrt{b}}{\sqrt{a} + 3\sqrt{b}}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{a} - 3\sqrt{b}}{\sqrt{a} + 3\sqrt{b}}$

6) Чтобы сократить дробь $\frac{11 - \sqrt{33}}{\sqrt{33} - 3}$, вынесем общие множители в числителе и знаменателе.
В числителе: $11 - \sqrt{33} = \sqrt{11 \cdot 11} - \sqrt{11 \cdot 3} = \sqrt{11}(\sqrt{11} - \sqrt{3})$.
В знаменателе: $\sqrt{33} - 3 = \sqrt{11 \cdot 3} - \sqrt{3 \cdot 3} = \sqrt{3}(\sqrt{11} - \sqrt{3})$.
Подставим полученные выражения в дробь:
$\frac{\sqrt{11}(\sqrt{11} - \sqrt{3})}{\sqrt{3}(\sqrt{11} - \sqrt{3})}$
Сократим общий множитель $(\sqrt{11} - \sqrt{3})$:
$\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{3}}$
Для избавления от иррациональности в знаменателе домножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:
$\frac{\sqrt{11} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{33}}{3}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{33}}{3}$

906. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:

1) $\frac{a^3}{\sqrt{b}}$;

2) $\frac{7}{a\sqrt{a}}$;

3) $\frac{2}{\sqrt{13}}$;

4) $\frac{6}{\sqrt{3}}$;

5) $\frac{n+9}{\sqrt{n+9}}$;

6) $\frac{3}{\sqrt{13}-2}$;

7) $\frac{6}{\sqrt{21}+\sqrt{15}}$;

8) $\frac{18}{\sqrt{47}-\sqrt{29}}$.

1) Чтобы освободиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{a^3}{\sqrt{b}}$, необходимо умножить числитель и знаменатель этой дроби на $\sqrt{b}$. Это позволит избавиться от квадратного корня в знаменателе, так как $\sqrt{b} \cdot \sqrt{b} = b$.

Выполним умножение:

$\frac{a^3}{\sqrt{b}} = \frac{a^3 \cdot \sqrt{b}}{\sqrt{b} \cdot \sqrt{b}} = \frac{a^3\sqrt{b}}{b}$

При этом подразумевается, что $b>0$, чтобы выражение имело смысл.

Ответ: $\frac{a^3\sqrt{b}}{b}$.

2) Для дроби $\frac{7}{a\sqrt{a}}$ иррациональность в знаменателе создается множителем $\sqrt{a}$. Умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{a}$.

Выполним преобразование:

$\frac{7}{a\sqrt{a}} = \frac{7 \cdot \sqrt{a}}{a\sqrt{a} \cdot \sqrt{a}} = \frac{7\sqrt{a}}{a \cdot (\sqrt{a})^2} = \frac{7\sqrt{a}}{a \cdot a} = \frac{7\sqrt{a}}{a^2}$

При этом подразумевается, что $a>0$.

Ответ: $\frac{7\sqrt{a}}{a^2}$.

3) В дроби $\frac{2}{\sqrt{13}}$ знаменатель является иррациональным числом. Чтобы избавиться от корня, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{13}$.

$\frac{2}{\sqrt{13}} = \frac{2 \cdot \sqrt{13}}{\sqrt{13} \cdot \sqrt{13}} = \frac{2\sqrt{13}}{13}$

Ответ: $\frac{2\sqrt{13}}{13}$.

4) В дроби $\frac{6}{\sqrt{3}}$ умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$.

$\frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3}$

Полученное выражение можно сократить, разделив числитель и знаменатель на 3:

$\frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$

Ответ: $2\sqrt{3}$.

5) В дроби $\frac{n+9}{\sqrt{n+9}}$ знаменатель содержит корень. Можно заметить, что числитель $n+9$ можно представить как $(\sqrt{n+9})^2$.

$\frac{n+9}{\sqrt{n+9}} = \frac{(\sqrt{n+9})^2}{\sqrt{n+9}}$

Теперь можно сократить дробь на $\sqrt{n+9}$:

$\frac{(\sqrt{n+9})^2}{\sqrt{n+9}} = \sqrt{n+9}$

Это возможно при условии, что $n+9 > 0$.

Ответ: $\sqrt{n+9}$.

6) Знаменатель дроби $\frac{3}{\sqrt{13}-2}$ представляет собой разность. Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, нужно умножить числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю. Сопряженным для $\sqrt{13}-2$ является $\sqrt{13}+2$. При умножении используем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$.

$\frac{3}{\sqrt{13}-2} = \frac{3 \cdot (\sqrt{13}+2)}{(\sqrt{13}-2)(\sqrt{13}+2)} = \frac{3(\sqrt{13}+2)}{(\sqrt{13})^2 - 2^2} = \frac{3(\sqrt{13}+2)}{13 - 4} = \frac{3(\sqrt{13}+2)}{9}$

Сократим полученную дробь на 3:

$\frac{3(\sqrt{13}+2)}{9} = \frac{\sqrt{13}+2}{3}$

Ответ: $\frac{\sqrt{13}+2}{3}$.

7) Знаменатель дроби $\frac{6}{\sqrt{21}+\sqrt{15}}$ является суммой корней. Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $\sqrt{21}-\sqrt{15}$, используя формулу разности квадратов.

$\frac{6}{\sqrt{21}+\sqrt{15}} = \frac{6(\sqrt{21}-\sqrt{15})}{(\sqrt{21}+\sqrt{15})(\sqrt{21}-\sqrt{15})} = \frac{6(\sqrt{21}-\sqrt{15})}{(\sqrt{21})^2 - (\sqrt{15})^2} = \frac{6(\sqrt{21}-\sqrt{15})}{21 - 15} = \frac{6(\sqrt{21}-\sqrt{15})}{6}$

Сократим дробь на 6:

$\sqrt{21}-\sqrt{15}$

Ответ: $\sqrt{21}-\sqrt{15}$.

8) Знаменатель дроби $\frac{18}{\sqrt{47}-\sqrt{29}}$ является разностью корней. Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $\sqrt{47}+\sqrt{29}$, используя формулу разности квадратов.

$\frac{18}{\sqrt{47}-\sqrt{29}} = \frac{18(\sqrt{47}+\sqrt{29})}{(\sqrt{47}-\sqrt{29})(\sqrt{47}+\sqrt{29})} = \frac{18(\sqrt{47}+\sqrt{29})}{(\sqrt{47})^2 - (\sqrt{29})^2} = \frac{18(\sqrt{47}+\sqrt{29})}{47 - 29} = \frac{18(\sqrt{47}+\sqrt{29})}{18}$

Сократим дробь на 18:

$\sqrt{47}+\sqrt{29}$

Ответ: $\sqrt{47}+\sqrt{29}$.