Страница 222 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

887. Постройте график функции:

1) $y = \frac{4x+12}{x^2+3x}$;

2) $y = \frac{32-2x^2}{x^3-16x}$.

1) $y = \frac{4x + 12}{x^2 + 3x}$

Сначала найдем область определения функции. Знаменатель дроби не может быть равен нулю:
$x^2 + 3x \neq 0$
$x(x + 3) \neq 0$
Отсюда следует, что $x \neq 0$ и $x \neq -3$.
Область определения функции: $D(y) = (-\infty; -3) \cup (-3; 0) \cup (0; +\infty)$.

Теперь упростим выражение для функции, разложив числитель и знаменатель на множители:
$y = \frac{4(x + 3)}{x(x + 3)}$

При $x \neq -3$ мы можем сократить дробь на общий множитель $(x + 3)$:
$y = \frac{4}{x}$

Таким образом, график исходной функции представляет собой график функции $y = \frac{4}{x}$ с одной "выколотой" точкой.
Графиком функции $y = \frac{4}{x}$ является гипербола, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях. Асимптотами графика являются оси координат: вертикальная асимптота $x=0$ и горизонтальная асимптота $y=0$.
Найдем координаты точки разрыва ("выколотой" точки), подставив значение $x = -3$ в упрощенную функцию:
$y(-3) = \frac{4}{-3} = -1\frac{1}{3}$
Следовательно, точка с координатами $(-3; -1\frac{1}{3})$ не принадлежит графику функции.

Для построения графика можно составить таблицу значений для функции $y = \frac{4}{x}$:

Построим гиперболу по этим точкам и отметим на ней выколотую точку $(-3; -1\frac{1}{3})$.

Ответ: Графиком функции является гипербола $y = \frac{4}{x}$ с выколотой точкой $(-3; -1\frac{1}{3})$.

2) $y = \frac{32 - 2x^2}{x^3 - 16x}$

Найдем область определения функции. Знаменатель не должен быть равен нулю:
$x^3 - 16x \neq 0$
$x(x^2 - 16) \neq 0$
$x(x - 4)(x + 4) \neq 0$
Отсюда следует, что $x \neq 0$, $x \neq 4$ и $x \neq -4$.
Область определения: $D(y) = (-\infty; -4) \cup (-4; 0) \cup (0; 4) \cup (4; +\infty)$.

Упростим выражение для функции. Для этого разложим числитель и знаменатель на множители:
Числитель: $32 - 2x^2 = 2(16 - x^2) = -2(x^2 - 16) = -2(x - 4)(x + 4)$.
Знаменатель: $x^3 - 16x = x(x^2 - 16) = x(x - 4)(x + 4)$.
Запишем функцию в новом виде:
$y = \frac{-2(x - 4)(x + 4)}{x(x - 4)(x + 4)}$

При $x \neq 4$ и $x \neq -4$ мы можем сократить дробь:
$y = -\frac{2}{x}$

График исходной функции совпадает с графиком функции $y = -\frac{2}{x}$ за исключением двух "выколотых" точек.
Графиком функции $y = -\frac{2}{x}$ является гипербола, ветви которой расположены во II и IV координатных четвертях. Асимптотами графика являются оси координат ($x=0$ и $y=0$).
Найдем координаты точек разрыва:
При $x = 4$: $y(4) = -\frac{2}{4} = -0.5$. Точка $(4; -0.5)$ выколота.
При $x = -4$: $y(-4) = -\frac{2}{-4} = 0.5$. Точка $(-4; 0.5)$ выколота.

Для построения графика можно составить таблицу значений для $y = -\frac{2}{x}$:

Построим гиперболу по этим точкам и отметим на ней выколотые точки $(4; -0.5)$ и $(-4; 0.5)$.

Ответ: Графиком функции является гипербола $y = -\frac{2}{x}$ с выколотыми точками $(4; -0.5)$ и $(-4; 0.5)$.

888. Найдите значение выражения:

1) $0,4\sqrt{625} - \frac{1}{4}\sqrt{144};$

2) $\sqrt{64} \cdot \sqrt{0,25} + \sqrt{2^4 + 9};$

3) $3\sqrt{0,25} - \sqrt{7^2 + 24^2};$

4) $\sqrt{1\frac{11}{25}} + \sqrt{3\frac{6}{25}} - 0,04\sqrt{10000};$

5) $\frac{1}{5}\sqrt{625} - \frac{3}{17}\sqrt{289}.$

1) Для решения выражения $0,4\sqrt{625} - \frac{1}{4}\sqrt{144}$ выполним следующие действия:

Сначала вычислим значения квадратных корней:

$\sqrt{625} = 25$

$\sqrt{144} = 12$

Теперь подставим найденные значения обратно в выражение:

$0,4 \cdot 25 - \frac{1}{4} \cdot 12$

Выполним умножение:

$0,4 \cdot 25 = 10$

$\frac{1}{4} \cdot 12 = 3$

Выполним вычитание:

$10 - 3 = 7$

Ответ: 7

2) Для решения выражения $\sqrt{64} \cdot \sqrt{0,25} + \sqrt{2^4 + 9}$ выполним следующие действия:

Вычислим значения квадратных корней и выражений под корнем по отдельности:

$\sqrt{64} = 8$

$\sqrt{0,25} = 0,5$

$\sqrt{2^4 + 9} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$

Теперь подставим значения в исходное выражение и вычислим:

$8 \cdot 0,5 + 5 = 4 + 5 = 9$

Ответ: 9

3) Для решения выражения $3\sqrt{0,25} - \sqrt{7^2 + 24^2}$ выполним следующие действия:

Вычислим значение первого слагаемого:

$3\sqrt{0,25} = 3 \cdot 0,5 = 1,5$

Вычислим значение выражения под вторым корнем:

$7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625$

Извлечем корень:

$\sqrt{625} = 25$

Теперь выполним вычитание:

$1,5 - 25 = -23,5$

Ответ: -23,5

4) Для решения выражения $\sqrt{1\frac{11}{25}} + \sqrt{3\frac{6}{25}} - 0,04\sqrt{10000}$ выполним следующие действия:

Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби и извлечем корни:

$\sqrt{1\frac{11}{25}} = \sqrt{\frac{1 \cdot 25 + 11}{25}} = \sqrt{\frac{36}{25}} = \frac{6}{5}$

$\sqrt{3\frac{6}{25}} = \sqrt{\frac{3 \cdot 25 + 6}{25}} = \sqrt{\frac{81}{25}} = \frac{9}{5}$

Вычислим третье слагаемое:

$\sqrt{10000} = 100$

$0,04 \cdot 100 = 4$

Теперь подставим все значения в выражение и вычислим:

$\frac{6}{5} + \frac{9}{5} - 4 = \frac{15}{5} - 4 = 3 - 4 = -1$

Ответ: -1

5) Для решения выражения $\frac{1}{5}\sqrt{625} - \frac{3}{17}\sqrt{289}$ выполним следующие действия:

Вычислим значения квадратных корней:

$\sqrt{625} = 25$

$\sqrt{289} = 17$

Подставим найденные значения в выражение и выполним умножение:

$\frac{1}{5} \cdot 25 - \frac{3}{17} \cdot 17 = 5 - 3$

Выполним вычитание:

$5 - 3 = 2$

Ответ: 2

889. Найдите значение выражения:

1) $(\sqrt{3})^2 - \sqrt{1.69};$

2) $(3\sqrt{15})^2 - (15\sqrt{3})^2;$

3) $50 \cdot \left(-\frac{1}{5}\sqrt{7}\right)^2 - \frac{1}{4} \cdot (3\sqrt{2})^2;$

4) $\sqrt{1089} - \left(\frac{1}{6}\sqrt{216}\right)^2;$

5) $\frac{4}{9}\sqrt{39.69} - \frac{5}{49}\sqrt{59.29} + \left(-\frac{1}{5}\sqrt{75}\right)^2;$

6) $\frac{1}{2}\sqrt{17^2 - 15^2} + \left(2\sqrt{5\frac{1}{2}}\right)^2 - 0.3\sqrt{900}.$

1) $(\sqrt{3})^2 - \sqrt{1,69}$

По определению арифметического квадратного корня, $(\sqrt{a})^2 = a$ для любого неотрицательного числа $a$. Следовательно, $(\sqrt{3})^2 = 3$.

Далее, найдем значение $\sqrt{1,69}$. Поскольку $1,3^2 = 1,3 \cdot 1,3 = 1,69$, то $\sqrt{1,69} = 1,3$.

Теперь выполним вычитание: $3 - 1,3 = 1,7$.

Ответ: $1,7$.

2) $(3\sqrt{15})^2 - (15\sqrt{3})^2$

Используем свойство степени $(ab)^n = a^n b^n$ для каждого члена выражения.

Возведем в квадрат первый член: $(3\sqrt{15})^2 = 3^2 \cdot (\sqrt{15})^2 = 9 \cdot 15 = 135$.

Возведем в квадрат второй член: $(15\sqrt{3})^2 = 15^2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 225 \cdot 3 = 675$.

Выполним вычитание: $135 - 675 = -540$.

Ответ: $-540$.

3) $50 \cdot (-\frac{1}{5}\sqrt{7})^2 - \frac{1}{4} \cdot (3\sqrt{2})^2$

Сначала вычислим значение первого произведения. Возведем в квадрат выражение в скобках: $(-\frac{1}{5}\sqrt{7})^2 = (-\frac{1}{5})^2 \cdot (\sqrt{7})^2 = \frac{1}{25} \cdot 7 = \frac{7}{25}$.

Теперь умножим результат на 50: $50 \cdot \frac{7}{25} = \frac{50 \cdot 7}{25} = 2 \cdot 7 = 14$.

Далее вычислим значение второго произведения. Возведем в квадрат выражение в скобках: $(3\sqrt{2})^2 = 3^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 9 \cdot 2 = 18$.

Умножим результат на $\frac{1}{4}$: $\frac{1}{4} \cdot 18 = \frac{18}{4} = \frac{9}{2} = 4,5$.

Наконец, выполним вычитание: $14 - 4,5 = 9,5$.

Ответ: $9,5$.

4) $\sqrt{1089} - (\frac{1}{6}\sqrt{216})^2$

Найдем значение $\sqrt{1089}$. Поскольку $30^2 = 900$ и $40^2=1600$, корень находится между 30 и 40. Число 1089 оканчивается на 9, значит, его корень должен оканчиваться на 3 или 7. Проверим 33: $33^2 = 1089$. Таким образом, $\sqrt{1089} = 33$.

Теперь упростим вторую часть выражения: $(\frac{1}{6}\sqrt{216})^2 = (\frac{1}{6})^2 \cdot (\sqrt{216})^2 = \frac{1}{36} \cdot 216$.

Вычислим частное: $\frac{216}{36} = 6$.

Выполним вычитание: $33 - 6 = 27$.

Ответ: $27$.

5) $\frac{4}{9}\sqrt{39,69} - \frac{5}{49}\sqrt{59,29} + (-\frac{1}{5}\sqrt{75})^2$

Вычислим каждое слагаемое по отдельности.

Первое слагаемое: $\frac{4}{9}\sqrt{39,69}$. Так как $6,3^2 = 39,69$, то $\sqrt{39,69} = 6,3$. Тогда $\frac{4}{9} \cdot 6,3 = \frac{4}{9} \cdot \frac{63}{10} = \frac{4 \cdot 7}{10} = \frac{28}{10} = 2,8$.

Второе слагаемое: $\frac{5}{49}\sqrt{59,29}$. Так как $7,7^2 = 59,29$, то $\sqrt{59,29} = 7,7$. Тогда $\frac{5}{49} \cdot 7,7 = \frac{5}{49} \cdot \frac{77}{10} = \frac{5 \cdot 11 \cdot 7}{7 \cdot 7 \cdot 10} = \frac{55}{70} = \frac{11}{14}$.

Третье слагаемое: $(-\frac{1}{5}\sqrt{75})^2 = (\frac{1}{5})^2 \cdot (\sqrt{75})^2 = \frac{1}{25} \cdot 75 = 3$.

Теперь объединим все части: $2,8 - \frac{11}{14} + 3 = 5,8 - \frac{11}{14} = \frac{58}{10} - \frac{11}{14} = \frac{29}{5} - \frac{11}{14}$.

Приведем дроби к общему знаменателю 70: $\frac{29 \cdot 14}{70} - \frac{11 \cdot 5}{70} = \frac{406 - 55}{70} = \frac{351}{70}$.

Эту дробь можно записать в виде смешанного числа: $5\frac{1}{70}$.

Ответ: $\frac{351}{70}$ или $5\frac{1}{70}$.

6) $\frac{1}{2}\sqrt{17^2 - 15^2} + (2\sqrt{5\frac{1}{2}})^2 - 0,3\sqrt{900}$

Рассмотрим каждую часть выражения по очереди.

Первая часть: $\frac{1}{2}\sqrt{17^2 - 15^2}$. Используем формулу разности квадратов под корнем: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. Получаем $\sqrt{17^2 - 15^2} = \sqrt{(17-15)(17+15)} = \sqrt{2 \cdot 32} = \sqrt{64} = 8$. Тогда всё выражение равно $\frac{1}{2} \cdot 8 = 4$.

Вторая часть: $(2\sqrt{5\frac{1}{2}})^2$. Переведем смешанное число $5\frac{1}{2}$ в неправильную дробь $\frac{11}{2}$. Тогда $(2\sqrt{\frac{11}{2}})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{\frac{11}{2}})^2 = 4 \cdot \frac{11}{2} = 22$.

Третья часть: $0,3\sqrt{900}$. Так как $\sqrt{900} = 30$, то $0,3 \cdot 30 = 9$.

Теперь сложим и вычтем полученные значения: $4 + 22 - 9 = 26 - 9 = 17$.

Ответ: $17$.

890. Решите уравнение:

1) $\sqrt{x} = 2$;

2) $\sqrt{x} = \frac{1}{4}$;

3) $\sqrt{x} - 3 = 0$;

4) $2\sqrt{x} - 7 = 0$;

5) $\sqrt{x} + 5 = 0$;

6) $\frac{1}{4}\sqrt{x} + 5 = 0$;

7) $\sqrt{7x - 4} = 0$;

8) $\sqrt{7x - 4} = 0$;

9) $\sqrt{7x - 4} = 2$;

10) $\frac{28}{\sqrt{x}} = 7$;

11) $\frac{15}{\sqrt{x + 4}} = 3$;

12) $\sqrt{4 + \sqrt{3 + x}} = 5$.

1) $\sqrt{x} = 2$

Для решения этого уравнения необходимо возвести обе части в квадрат, чтобы избавиться от знака квадратного корня. Область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения: $x \ge 0$.

$(\sqrt{x})^2 = 2^2$

$x = 4$

Корень $x = 4$ удовлетворяет ОДЗ. Проверка: $\sqrt{4} = 2$, что является верным равенством.

Ответ: $x = 4$

2) $\sqrt{x} = \frac{1}{4}$

Возведем обе части уравнения в квадрат. ОДЗ: $x \ge 0$.

$(\sqrt{x})^2 = \left(\frac{1}{4}\right)^2$

$x = \frac{1}{16}$

Корень $x = \frac{1}{16}$ удовлетворяет ОДЗ. Проверка: $\sqrt{\frac{1}{16}} = \frac{1}{4}$, что верно.

Ответ: $x = \frac{1}{16}$

3) $\sqrt{x} - 3 = 0$

Сначала изолируем радикал (квадратный корень), перенеся -3 в правую часть уравнения.

$\sqrt{x} = 3$

Теперь возведем обе части в квадрат. ОДЗ: $x \ge 0$.

$(\sqrt{x})^2 = 3^2$

$x = 9$

Корень $x = 9$ удовлетворяет ОДЗ. Проверка: $\sqrt{9} - 3 = 3 - 3 = 0$, что верно.

Ответ: $x = 9$

4) $2\sqrt{x} - 7 = 0$

Изолируем радикал.

$2\sqrt{x} = 7$

$\sqrt{x} = \frac{7}{2}$

Возведем обе части в квадрат. ОДЗ: $x \ge 0$.

$(\sqrt{x})^2 = \left(\frac{7}{2}\right)^2$

$x = \frac{49}{4}$

Корень $x = \frac{49}{4}$ удовлетворяет ОДЗ. Проверка: $2\sqrt{\frac{49}{4}} - 7 = 2 \cdot \frac{7}{2} - 7 = 7 - 7 = 0$, что верно.

Ответ: $x = \frac{49}{4}$

5) $\sqrt{x} + 5 = 0$

Изолируем радикал.

$\sqrt{x} = -5$

По определению, арифметический квадратный корень ($\sqrt{x}$) не может быть отрицательным числом. Поскольку правая часть уравнения равна -5, данное уравнение не имеет действительных решений.

Ответ: корней нет

6) $\frac{1}{4}\sqrt{x} + 5 = 0$

Изолируем радикал.

$\frac{1}{4}\sqrt{x} = -5$

$\sqrt{x} = -20$

Как и в предыдущем примере, арифметический квадратный корень не может быть отрицательным. Уравнение не имеет действительных решений.

Ответ: корней нет

7) $\sqrt{7x - 4} = 0$

Чтобы корень был равен нулю, подкоренное выражение должно быть равно нулю. ОДЗ: $7x - 4 \ge 0$, т.е. $x \ge \frac{4}{7}$.

Возведем обе части в квадрат:

$(\sqrt{7x - 4})^2 = 0^2$

$7x - 4 = 0$

$7x = 4$

$x = \frac{4}{7}$

Найденный корень $x = \frac{4}{7}$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $x = \frac{4}{7}$

8) $\sqrt{7x - 4} = 0$

Данное уравнение полностью совпадает с уравнением из пункта 7, поэтому решение и ответ будут такими же.

$7x - 4 = 0$

$x = \frac{4}{7}$

Ответ: $x = \frac{4}{7}$

9) $\sqrt{7x - 4} = 2$

Возведем обе части уравнения в квадрат. ОДЗ: $7x - 4 \ge 0 \implies x \ge \frac{4}{7}$.

$(\sqrt{7x - 4})^2 = 2^2$

$7x - 4 = 4$

$7x = 8$

$x = \frac{8}{7}$

Корень $x = \frac{8}{7}$ удовлетворяет ОДЗ ($ \frac{8}{7} > \frac{4}{7}$). Проверка: $\sqrt{7\left(\frac{8}{7}\right) - 4} = \sqrt{8 - 4} = \sqrt{4} = 2$, что верно.

Ответ: $x = \frac{8}{7}$

10) $\frac{28}{\sqrt{x}} = 7$

ОДЗ: подкоренное выражение должно быть строго положительным, так как находится в знаменателе, т.е. $x > 0$.

Выразим $\sqrt{x}$:

$\sqrt{x} = \frac{28}{7}$

$\sqrt{x} = 4$

Возведем обе части в квадрат:

$x = 4^2$

$x = 16$

Корень $x = 16$ удовлетворяет ОДЗ ($16 > 0$). Проверка: $\frac{28}{\sqrt{16}} = \frac{28}{4} = 7$, что верно.

Ответ: $x = 16$

11) $\frac{15}{\sqrt{x+4}} = 3$

ОДЗ: $x+4 > 0 \implies x > -4$.

Выразим радикал:

$\sqrt{x+4} = \frac{15}{3}$

$\sqrt{x+4} = 5$

Возведем обе части в квадрат:

$x+4 = 5^2$

$x+4 = 25$

$x = 21$

Корень $x = 21$ удовлетворяет ОДЗ ($21 > -4$). Проверка: $\frac{15}{\sqrt{21+4}} = \frac{15}{\sqrt{25}} = \frac{15}{5} = 3$, что верно.

Ответ: $x = 21$

12) $\sqrt{4 + \sqrt{3+x}} = 5$

Это уравнение с вложенными корнями. Решаем его, последовательно избавляясь от корней, начиная с внешнего. ОДЗ: $3+x \ge 0 \implies x \ge -3$. Также должно выполняться $4 + \sqrt{3+x} \ge 0$, что всегда верно при $x \ge -3$.

Возведем обе части в квадрат:

$(\sqrt{4 + \sqrt{3+x}})^2 = 5^2$

$4 + \sqrt{3+x} = 25$

Изолируем оставшийся радикал:

$\sqrt{3+x} = 25 - 4$

$\sqrt{3+x} = 21$

Снова возведем обе части в квадрат:

$(\sqrt{3+x})^2 = 21^2$

$3+x = 441$

$x = 441 - 3$

$x = 438$

Корень $x=438$ удовлетворяет ОДЗ ($438 > -3$). Проверка: $\sqrt{4 + \sqrt{3+438}} = \sqrt{4 + \sqrt{441}} = \sqrt{4+21} = \sqrt{25} = 5$, что верно.

Ответ: $x = 438$

891. Найдите значение корня:

1) $\sqrt{9 \cdot 100}$;
2) $\sqrt{0,49 \cdot 16}$;
3) $\sqrt{676 \cdot 0,04}$;
4) $\sqrt{0,64 \cdot 0,25 \cdot 121}$;
5) $\sqrt{\frac{25}{196}}$;
6) $\sqrt{18\frac{1}{16}}$;
7) $\sqrt{\frac{9}{64} \cdot \frac{1024}{1089}}$;
8) $\sqrt{3\frac{13}{36} \cdot 4\frac{29}{49}}$.

1) Для вычисления значения корня из произведения воспользуемся свойством арифметического квадратного корня: $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ (для $a \ge 0, b \ge 0$).

$\sqrt{9 \cdot 100} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{100} = 3 \cdot 10 = 30$.

Ответ: 30.

2) Аналогично предыдущему примеру, используем свойство корня из произведения.

$\sqrt{0,49 \cdot 16} = \sqrt{0,49} \cdot \sqrt{16} = 0,7 \cdot 4 = 2,8$.

Ответ: 2,8.

3) Используем свойство корня из произведения.

$\sqrt{676 \cdot 0,04} = \sqrt{676} \cdot \sqrt{0,04}$.

Так как $26^2 = 676$ и $0,2^2 = 0,04$, то:

$\sqrt{676} \cdot \sqrt{0,04} = 26 \cdot 0,2 = 5,2$.

Ответ: 5,2.

4) Свойство корня из произведения справедливо и для трех множителей: $\sqrt{a \cdot b \cdot c} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \cdot \sqrt{c}$.

$\sqrt{0,64 \cdot 0,25 \cdot 121} = \sqrt{0,64} \cdot \sqrt{0,25} \cdot \sqrt{121} = 0,8 \cdot 0,5 \cdot 11 = 0,4 \cdot 11 = 4,4$.

Ответ: 4,4.

5) Для вычисления значения корня из дроби воспользуемся свойством корня из частного: $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ (для $a \ge 0, b > 0$).

$\sqrt{\frac{25}{196}} = \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{196}} = \frac{5}{14}$.

Ответ: $\frac{5}{14}$.

6) Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь.

$18\frac{1}{16} = \frac{18 \cdot 16 + 1}{16} = \frac{288 + 1}{16} = \frac{289}{16}$.

Теперь извлечем корень, используя свойство корня из частного:

$\sqrt{18\frac{1}{16}} = \sqrt{\frac{289}{16}} = \frac{\sqrt{289}}{\sqrt{16}} = \frac{17}{4}$.

Преобразуем неправильную дробь обратно в смешанное число:

$\frac{17}{4} = 4\frac{1}{4}$.

Ответ: $4\frac{1}{4}$.

7) Используем свойства корня из произведения и корня из частного.

$\sqrt{\frac{9}{64} \cdot \frac{1024}{1089}} = \sqrt{\frac{9}{64}} \cdot \sqrt{\frac{1024}{1089}} = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{64}} \cdot \frac{\sqrt{1024}}{\sqrt{1089}}$.

Вычисляем значения корней: $\sqrt{9} = 3$, $\sqrt{64} = 8$, $\sqrt{1024} = 32$, $\sqrt{1089} = 33$.

Подставляем значения и вычисляем произведение, сокращая дробь:

$\frac{3}{8} \cdot \frac{32}{33} = \frac{3 \cdot 32}{8 \cdot 33} = \frac{1 \cdot 4}{1 \cdot 11} = \frac{4}{11}$.

Ответ: $\frac{4}{11}$.

8) Сначала преобразуем смешанные числа в неправильные дроби.

$3\frac{13}{36} = \frac{3 \cdot 36 + 13}{36} = \frac{108 + 13}{36} = \frac{121}{36}$.

$4\frac{29}{49} = \frac{4 \cdot 49 + 29}{49} = \frac{196 + 29}{49} = \frac{225}{49}$.

Теперь вычисляем корень из произведения полученных дробей:

$\sqrt{3\frac{13}{36} \cdot 4\frac{29}{49}} = \sqrt{\frac{121}{36} \cdot \frac{225}{49}} = \sqrt{\frac{121}{36}} \cdot \sqrt{\frac{225}{49}} = \frac{\sqrt{121}}{\sqrt{36}} \cdot \frac{\sqrt{225}}{\sqrt{49}} = \frac{11}{6} \cdot \frac{15}{7}$.

Перемножаем дроби и сокращаем:

$\frac{11}{6} \cdot \frac{15}{7} = \frac{11 \cdot (3 \cdot 5)}{(2 \cdot 3) \cdot 7} = \frac{11 \cdot 5}{2 \cdot 7} = \frac{55}{14}$.

Преобразуем в смешанное число:

$\frac{55}{14} = 3\frac{13}{14}$.

Ответ: $3\frac{13}{14}$.

892. Найдите значение корня:

1) $\sqrt{75 \cdot 234}$;

2) $\sqrt{2 \cdot 800}$;

3) $\sqrt{1,6 \cdot 12,1}$;

4) $\sqrt{2890 \cdot 2,5}$.

1) Для того чтобы найти значение корня $\sqrt{75 \cdot 294}$, разложим числа 75 и 294 на множители.
Разложение числа 75: $75 = 3 \cdot 25 = 3 \cdot 5^2$.
Разложение числа 294: $294 = 2 \cdot 147 = 2 \cdot 3 \cdot 49 = 2 \cdot 3 \cdot 7^2$.
Теперь подставим разложения в исходное выражение:
$\sqrt{75 \cdot 294} = \sqrt{(3 \cdot 5^2) \cdot (2 \cdot 3 \cdot 7^2)}$.
Сгруппируем множители под корнем:
$\sqrt{2 \cdot (3 \cdot 3) \cdot 5^2 \cdot 7^2} = \sqrt{2 \cdot 3^2 \cdot 5^2 \cdot 7^2}$.
Используя свойство корня из произведения ($\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$), вынесем множители из-под знака корня:
$\sqrt{3^2} \cdot \sqrt{5^2} \cdot \sqrt{7^2} \cdot \sqrt{2} = 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \sqrt{2} = 105\sqrt{2}$.
Ответ: $105\sqrt{2}$

2) Для того чтобы найти значение корня $\sqrt{2 \cdot 800}$, сначала выполним умножение под знаком корня.
$2 \cdot 800 = 1600$.
Теперь необходимо извлечь корень из 1600.
$\sqrt{1600} = \sqrt{40 \cdot 40} = \sqrt{40^2} = 40$.
Другой способ — разложить 800 на множители:
$\sqrt{2 \cdot 800} = \sqrt{2 \cdot 2 \cdot 400} = \sqrt{4 \cdot 400} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{400} = 2 \cdot 20 = 40$.
Ответ: 40

3) Для того чтобы найти значение корня $\sqrt{1,6 \cdot 12,1}$, представим десятичные дроби в виде произведения целого числа и множителя 0,1.
$1,6 = 16 \cdot 0,1$
$12,1 = 121 \cdot 0,1$
Подставим эти выражения под корень:
$\sqrt{1,6 \cdot 12,1} = \sqrt{(16 \cdot 0,1) \cdot (121 \cdot 0,1)} = \sqrt{16 \cdot 121 \cdot 0,01}$.
Используя свойство корня из произведения, получим:
$\sqrt{16} \cdot \sqrt{121} \cdot \sqrt{0,01} = 4 \cdot 11 \cdot 0,1 = 44 \cdot 0,1 = 4,4$.
Ответ: 4,4

4) Для того чтобы найти значение корня $\sqrt{2890 \cdot 2,5}$, преобразуем выражение под корнем.
Заметим, что $2890 = 289 \cdot 10$. Подставим это в выражение:
$\sqrt{289 \cdot 10 \cdot 2,5}$.
Теперь умножим $10$ на $2,5$:
$10 \cdot 2,5 = 25$.
Выражение под корнем становится $\sqrt{289 \cdot 25}$.
Используя свойство корня из произведения, получим:
$\sqrt{289 \cdot 25} = \sqrt{289} \cdot \sqrt{25}$.
Мы знаем, что $\sqrt{289} = 17$ и $\sqrt{25} = 5$.
$17 \cdot 5 = 85$.
Ответ: 85

893. Найдите значение выражения:

1) $\sqrt{108} \cdot \sqrt{3}$;

2) $\sqrt{52} \cdot \sqrt{13}$;

3) $\sqrt{160} \cdot \sqrt{250}$;

4) $\sqrt{0.4} \cdot \sqrt{4.9}$;

5) $\frac{\sqrt{288}}{\sqrt{2}};$

6) $\frac{\sqrt{90}}{\sqrt{0.225}}$.

1) Чтобы найти значение выражения $ \sqrt{108} \cdot \sqrt{3} $, воспользуемся свойством произведения квадратных корней $ \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b} $.

$ \sqrt{108} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{108 \cdot 3} = \sqrt{324} $

Так как $ 18^2 = 324 $, то $ \sqrt{324} = 18 $.

Ответ: 18

2) Для вычисления $ \sqrt{52} \cdot \sqrt{13} $ применим то же свойство $ \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b} $.

$ \sqrt{52} \cdot \sqrt{13} = \sqrt{52 \cdot 13} $

Чтобы упростить вычисление, разложим число 52 на множители: $ 52 = 4 \cdot 13 $.

$ \sqrt{52 \cdot 13} = \sqrt{(4 \cdot 13) \cdot 13} = \sqrt{4 \cdot 13^2} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{13^2} = 2 \cdot 13 = 26 $.

Ответ: 26

3) Найдем значение выражения $ \sqrt{160} \cdot \sqrt{250} $.

$ \sqrt{160} \cdot \sqrt{250} = \sqrt{160 \cdot 250} $

Представим подкоренное выражение в виде произведения множителей, из которых легко извлечь корень:

$ \sqrt{160 \cdot 250} = \sqrt{(16 \cdot 10) \cdot (25 \cdot 10)} = \sqrt{16 \cdot 25 \cdot 100} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{25} \cdot \sqrt{100} = 4 \cdot 5 \cdot 10 = 200 $.

Ответ: 200

4) Вычислим $ \sqrt{0,4} \cdot \sqrt{4,9} $.

$ \sqrt{0,4} \cdot \sqrt{4,9} = \sqrt{0,4 \cdot 4,9} = \sqrt{1,96} $

Чтобы извлечь корень, представим десятичную дробь в виде обыкновенной:

$ \sqrt{1,96} = \sqrt{\frac{196}{100}} = \frac{\sqrt{196}}{\sqrt{100}} = \frac{14}{10} = 1,4 $.

Ответ: 1,4

5) Для нахождения значения выражения $ \frac{\sqrt{288}}{\sqrt{2}} $ используем свойство частного квадратных корней $ \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}} $.

$ \frac{\sqrt{288}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{288}{2}} = \sqrt{144} $

Так как $ 12^2 = 144 $, то $ \sqrt{144} = 12 $.

Ответ: 12

6) Найдем значение выражения $ \frac{\sqrt{90}}{\sqrt{0,225}} $.

$ \frac{\sqrt{90}}{\sqrt{0,225}} = \sqrt{\frac{90}{0,225}} $

Выполним деление под знаком корня. Чтобы избавиться от дроби в делителе, умножим числитель и знаменатель на 1000:

$ \sqrt{\frac{90 \cdot 1000}{0,225 \cdot 1000}} = \sqrt{\frac{90000}{225}} $

Так как $ 900 : 225 = 4 $, то $ 90000 : 225 = 400 $.

$ \sqrt{400} = 20 $.

Ответ: 20