Номер 890, страница 222 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Квадратные уравнения. Упражнения для повторения курса алгебры 8 класса - номер 890, страница 222.

Условие.

890. Решите уравнение:

1) $\sqrt{x} = 2$;

2) $\sqrt{x} = \frac{1}{4}$;

3) $\sqrt{x} - 3 = 0$;

4) $2\sqrt{x} - 7 = 0$;

5) $\sqrt{x} + 5 = 0$;

6) $\frac{1}{4}\sqrt{x} + 5 = 0$;

7) $\sqrt{7x - 4} = 0$;

8) $\sqrt{7x - 4} = 0$;

9) $\sqrt{7x - 4} = 2$;

10) $\frac{28}{\sqrt{x}} = 7$;

11) $\frac{15}{\sqrt{x + 4}} = 3$;

12) $\sqrt{4 + \sqrt{3 + x}} = 5$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) $\sqrt{x} = 2$

Для решения этого уравнения необходимо возвести обе части в квадрат, чтобы избавиться от знака квадратного корня. Область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения: $x \ge 0$.

$(\sqrt{x})^2 = 2^2$

$x = 4$

Корень $x = 4$ удовлетворяет ОДЗ. Проверка: $\sqrt{4} = 2$, что является верным равенством.

Ответ: $x = 4$

2) $\sqrt{x} = \frac{1}{4}$

Возведем обе части уравнения в квадрат. ОДЗ: $x \ge 0$.

$(\sqrt{x})^2 = \left(\frac{1}{4}\right)^2$

$x = \frac{1}{16}$

Корень $x = \frac{1}{16}$ удовлетворяет ОДЗ. Проверка: $\sqrt{\frac{1}{16}} = \frac{1}{4}$, что верно.

Ответ: $x = \frac{1}{16}$

3) $\sqrt{x} - 3 = 0$

Сначала изолируем радикал (квадратный корень), перенеся -3 в правую часть уравнения.

$\sqrt{x} = 3$

Теперь возведем обе части в квадрат. ОДЗ: $x \ge 0$.

$(\sqrt{x})^2 = 3^2$

$x = 9$

Корень $x = 9$ удовлетворяет ОДЗ. Проверка: $\sqrt{9} - 3 = 3 - 3 = 0$, что верно.

Ответ: $x = 9$

4) $2\sqrt{x} - 7 = 0$

Изолируем радикал.

$2\sqrt{x} = 7$

$\sqrt{x} = \frac{7}{2}$

Возведем обе части в квадрат. ОДЗ: $x \ge 0$.

$(\sqrt{x})^2 = \left(\frac{7}{2}\right)^2$

$x = \frac{49}{4}$

Корень $x = \frac{49}{4}$ удовлетворяет ОДЗ. Проверка: $2\sqrt{\frac{49}{4}} - 7 = 2 \cdot \frac{7}{2} - 7 = 7 - 7 = 0$, что верно.

Ответ: $x = \frac{49}{4}$

5) $\sqrt{x} + 5 = 0$

Изолируем радикал.

$\sqrt{x} = -5$

По определению, арифметический квадратный корень ($\sqrt{x}$) не может быть отрицательным числом. Поскольку правая часть уравнения равна -5, данное уравнение не имеет действительных решений.

Ответ: корней нет

6) $\frac{1}{4}\sqrt{x} + 5 = 0$

Изолируем радикал.

$\frac{1}{4}\sqrt{x} = -5$

$\sqrt{x} = -20$

Как и в предыдущем примере, арифметический квадратный корень не может быть отрицательным. Уравнение не имеет действительных решений.

Ответ: корней нет

7) $\sqrt{7x - 4} = 0$

Чтобы корень был равен нулю, подкоренное выражение должно быть равно нулю. ОДЗ: $7x - 4 \ge 0$, т.е. $x \ge \frac{4}{7}$.

Возведем обе части в квадрат:

$(\sqrt{7x - 4})^2 = 0^2$

$7x - 4 = 0$

$7x = 4$

$x = \frac{4}{7}$

Найденный корень $x = \frac{4}{7}$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $x = \frac{4}{7}$

8) $\sqrt{7x - 4} = 0$

Данное уравнение полностью совпадает с уравнением из пункта 7, поэтому решение и ответ будут такими же.

$7x - 4 = 0$

$x = \frac{4}{7}$

Ответ: $x = \frac{4}{7}$

9) $\sqrt{7x - 4} = 2$

Возведем обе части уравнения в квадрат. ОДЗ: $7x - 4 \ge 0 \implies x \ge \frac{4}{7}$.

$(\sqrt{7x - 4})^2 = 2^2$

$7x - 4 = 4$

$7x = 8$

$x = \frac{8}{7}$

Корень $x = \frac{8}{7}$ удовлетворяет ОДЗ ($ \frac{8}{7} > \frac{4}{7}$). Проверка: $\sqrt{7\left(\frac{8}{7}\right) - 4} = \sqrt{8 - 4} = \sqrt{4} = 2$, что верно.

Ответ: $x = \frac{8}{7}$

10) $\frac{28}{\sqrt{x}} = 7$

ОДЗ: подкоренное выражение должно быть строго положительным, так как находится в знаменателе, т.е. $x > 0$.

Выразим $\sqrt{x}$:

$\sqrt{x} = \frac{28}{7}$

$\sqrt{x} = 4$

Возведем обе части в квадрат:

$x = 4^2$

$x = 16$

Корень $x = 16$ удовлетворяет ОДЗ ($16 > 0$). Проверка: $\frac{28}{\sqrt{16}} = \frac{28}{4} = 7$, что верно.

Ответ: $x = 16$

11) $\frac{15}{\sqrt{x+4}} = 3$

ОДЗ: $x+4 > 0 \implies x > -4$.

Выразим радикал:

$\sqrt{x+4} = \frac{15}{3}$

$\sqrt{x+4} = 5$

Возведем обе части в квадрат:

$x+4 = 5^2$

$x+4 = 25$

$x = 21$

Корень $x = 21$ удовлетворяет ОДЗ ($21 > -4$). Проверка: $\frac{15}{\sqrt{21+4}} = \frac{15}{\sqrt{25}} = \frac{15}{5} = 3$, что верно.

Ответ: $x = 21$

12) $\sqrt{4 + \sqrt{3+x}} = 5$

Это уравнение с вложенными корнями. Решаем его, последовательно избавляясь от корней, начиная с внешнего. ОДЗ: $3+x \ge 0 \implies x \ge -3$. Также должно выполняться $4 + \sqrt{3+x} \ge 0$, что всегда верно при $x \ge -3$.

Возведем обе части в квадрат:

$(\sqrt{4 + \sqrt{3+x}})^2 = 5^2$

$4 + \sqrt{3+x} = 25$

Изолируем оставшийся радикал:

$\sqrt{3+x} = 25 - 4$

$\sqrt{3+x} = 21$

Снова возведем обе части в квадрат:

$(\sqrt{3+x})^2 = 21^2$

$3+x = 441$

$x = 441 - 3$

$x = 438$

Корень $x=438$ удовлетворяет ОДЗ ($438 > -3$). Проверка: $\sqrt{4 + \sqrt{3+438}} = \sqrt{4 + \sqrt{441}} = \sqrt{4+21} = \sqrt{25} = 5$, что верно.

Ответ: $x = 438$