Номер 886, страница 221 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Квадратные уравнения. Упражнения для повторения курса алгебры 8 класса - номер 886, страница 221.

Условие.

886. Постройте график функции:

1) $y = \begin{cases} -\frac{12}{x}, & \text{если } x \leq -3; \\ 1-x, & \text{если } x > -3; \end{cases}$

2) $y = \begin{cases} 3x-1, & \text{если } x < 2, \\ \frac{10}{x}, & \text{если } 2 \leq x < 5, \\ x-3, & \text{если } x \geq 5. \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1)

Данная функция является кусочно-заданной. График состоит из двух частей: ветви гиперболы при $x \le -3$ и луча при $x > -3$.

Шаг 1. Построение графика функции $y = -\frac{12}{x}$ на промежутке $x \le -3$.

График функции $y = -\frac{12}{x}$ — это гипербола, расположенная во II и IV координатных четвертях. Нас интересует ее часть при $x \le -3$.

Составим таблицу значений для этой части графика:

• При $x = -3$, $y = -\frac{12}{-3} = 4$. Точка $(-3, 4)$ является граничной и принадлежит графику (будет закрашенной).
• При $x = -4$, $y = -\frac{12}{-4} = 3$.
• При $x = -6$, $y = -\frac{12}{-6} = 2$.
• При $x = -12$, $y = -\frac{12}{-12} = 1$.

Соединяем эти точки плавной кривой, которая уходит влево, приближаясь к оси Ox (горизонтальная асимптота $y=0$).

Шаг 2. Построение графика функции $y = 1 - x$ на промежутке $x > -3$.

График функции $y = 1 - x$ — это прямая линия. Нам нужна ее часть при $x > -3$, то есть луч.

Для построения луча достаточно двух точек:

• Найдем значение в граничной точке $x = -3$: $y = 1 - (-3) = 4$. Точка $(-3, 4)$ не принадлежит этому лучу (была бы выколотой), но она совпадает с конечной точкой предыдущего куска графика, которая включена. Таким образом, в точке $x = -3$ разрыва нет.
• Возьмем еще одну точку, например, $x = 1$: $y = 1 - 1 = 0$. Точка $(1, 0)$ принадлежит графику.

Проводим луч, начинающийся в точке $(-3, 4)$ и проходящий через точку $(1, 0)$.

Шаг 3. Объединение графиков.

Объединяем построенные части на одной координатной плоскости. График функции является непрерывной линией, состоящей из ветви гиперболы для $x \le -3$ и луча для $x > -3$, которые соединяются в точке $(-3, 4)$.

Ответ: График функции состоит из двух частей. Первая — часть гиперболы $y = -\frac{12}{x}$, расположенная во второй координатной четверти, для всех $x$ от $-\infty$ до $-3$ включительно. Ключевая точка этой части — $(-3, 4)$. Вторая часть — луч, заданный уравнением $y = 1 - x$, начинающийся в точке $(-3, 4)$ и проходящий, например, через точку $(1, 0)$. В точке $x = -3$ функция непрерывна.

2)

Данная функция является кусочно-заданной и состоит из трех частей.

Шаг 1. Построение графика функции $y = 3x - 1$ на промежутке $x < 2$.

График функции $y = 3x - 1$ — это прямая. Нам нужна ее часть при $x < 2$, то есть луч.

Найдем координаты двух точек:

• Граничная точка: при $x = 2$, $y = 3(2) - 1 = 5$. Точка $(2, 5)$ не принадлежит графику (выколотая).
• Контрольная точка: при $x = 0$, $y = 3(0) - 1 = -1$. Точка $(0, -1)$ принадлежит графику.

Строим луч, проходящий через $(0, -1)$ и заканчивающийся в выколотой точке $(2, 5)$.

Шаг 2. Построение графика функции $y = \frac{10}{x}$ на промежутке $2 \le x < 5$.

График функции $y = \frac{10}{x}$ — это гипербола. Нас интересует ее часть на отрезке $[2, 5)$.

Найдем значения на границах интервала:

• При $x = 2$, $y = \frac{10}{2} = 5$. Точка $(2, 5)$ принадлежит графику (закрашенная). Она "закрывает" выколотую точку от предыдущей части, делая функцию непрерывной в этой точке.
• При $x = 5$, $y = \frac{10}{5} = 2$. Точка $(5, 2)$ не принадлежит графику (выколотая).

Соединяем точки $(2, 5)$ и $(5, 2)$ плавной кривой (частью гиперболы).

Шаг 3. Построение графика функции $y = x - 3$ на промежутке $x \ge 5$.

График функции $y = x - 3$ — это прямая. Нам нужна ее часть при $x \ge 5$, то есть луч.

Найдем координаты двух точек:

• Граничная точка: при $x = 5$, $y = 5 - 3 = 2$. Точка $(5, 2)$ принадлежит графику (закрашенная). Она "закрывает" выколотую точку от предыдущей части, делая функцию непрерывной.
• Контрольная точка: при $x = 7$, $y = 7 - 3 = 4$. Точка $(7, 4)$ принадлежит графику.

Строим луч, начинающийся в точке $(5, 2)$ и проходящий через точку $(7, 4)$.

Шаг 4. Объединение графиков.

Объединяем все три части на одной координатной плоскости. Функция является непрерывной на всей числовой прямой. График состоит из луча, переходящего в точке $(2, 5)$ в участок гиперболы, который в свою очередь в точке $(5, 2)$ переходит в другой луч.

Ответ: График функции состоит из трех частей. Первая — луч $y = 3x - 1$ для $x < 2$, заканчивающийся в точке $(2, 5)$. Вторая — часть гиперболы $y = \frac{10}{x}$ для $2 \le x < 5$, соединяющая точки $(2, 5)$ и $(5, 2)$. Третья — луч $y = x - 3$ для $x \ge 5$, начинающийся в точке $(5, 2)$. График является непрерывной линией.