Номер 883, страница 221 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Квадратные уравнения. Упражнения для повторения курса алгебры 8 класса - номер 883, страница 221.

Условие.

883. Постройте график функции $y = \frac{5}{|x|}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Для построения графика функции $y=\frac{5}{|x|}$ необходимо проанализировать ее свойства и рассмотреть, как она себя ведет в зависимости от знака $x$.

Функция содержит модуль аргумента $|x|$, поэтому ее можно представить в виде кусочно-заданной функции:

$y = \begin{cases} \frac{5}{x}, & \text{если } x > 0 \\ \frac{5}{-x}, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

1. Анализ свойств функции

• Область определения: Знаменатель $|x|$ не должен быть равен нулю, следовательно, $x \neq 0$. Область определения $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
• Область значений: Числитель 5 — положительное число. Знаменатель $|x|$ также всегда положителен при $x \neq 0$. Следовательно, значение функции $y$ всегда будет положительным. Область значений $E(y) = (0; +\infty)$.
• Четность: Проверим функцию на четность, подставив $-x$ вместо $x$: $y(-x) = \frac{5}{|-x|} = \frac{5}{|x|} = y(x)$. Так как $y(-x) = y(x)$, функция является четной. Это означает, что ее график симметричен относительно оси ординат (оси OY).
• Асимптоты: При $x$, стремящемся к 0 (справа или слева), значение $|x|$ стремится к 0, а значение дроби $\frac{5}{|x|}$ стремится к $+\infty$. Следовательно, прямая $x=0$ (ось OY) является вертикальной асимптотой. При $x$, стремящемся к $\pm\infty$, значение $|x|$ стремится к $+\infty$, а значение дроби $\frac{5}{|x|}$ стремится к 0. Следовательно, прямая $y=0$ (ось OX) является горизонтальной асимптотой.

2. Построение графика

Так как функция четная, достаточно построить ее график для $x > 0$ и затем симметрично отразить его относительно оси OY.

При $x > 0$ функция принимает вид $y = \frac{5}{x}$. Это стандартная гипербола, ветвь которой расположена в первой координатной четверти.

Составим таблицу значений для нескольких точек при $x > 0$:

$x$	0.5	1	2	5	10
$y$	10	5	2.5	1	0.5

Построим ветвь в первой четверти, отметив точки (0.5, 10), (1, 5), (2, 2.5), (5, 1), (10, 0.5) и соединив их плавной кривой, которая приближается к осям координат.

Далее, используя свойство четности, отражаем построенную ветвь симметрично относительно оси OY. Таким образом, мы получаем вторую ветвь графика, расположенную во второй координатной четверти. Она будет проходить через точки (-0.5, 10), (-1, 5), (-2, 2.5), (-5, 1), (-10, 0.5).

Итоговый график состоит из двух ветвей, обе находятся выше оси абсцисс, в I и II координатных четвертях, и симметричны относительно оси ординат.

Ответ: График функции $y=\frac{5}{|x|}$ состоит из двух ветвей гиперболы. Первая ветвь, являющаяся графиком функции $y=\frac{5}{x}$ при $x>0$, расположена в первой координатной четверти. Вторая ветвь, являющаяся графиком функции $y=-\frac{5}{x}$ при $x<0$, расположена во второй координатной четверти. Весь график симметричен относительно оси OY и лежит в верхней полуплоскости ($y>0$). Оси координат ($x=0$ и $y=0$) являются асимптотами графика.