Номер 878, страница 220 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Квадратные уравнения. Упражнения для повторения курса алгебры 8 класса - номер 878, страница 220.

Условие.

878. Упростите выражение:

1) $(a^{-5} - 1)(a^{-5} + 1) - (a^{-5} - 2)^2;$

2) $\frac{y^{-2} - x^{-2}}{x + y};$

3) $\frac{a^{-3} - 3b^{-6}}{a^{-6} - 2a^{-3}b^{-6} + b^{-12}} - \frac{a^{-3} + 3b^{-6}}{a^{-6} - b^{-12}};$

4) $\frac{m^{-4} + n^{-4}}{n^{-10}} : \frac{m^{-4}n^{-6} + n^{-10}}{n^{-2}};$

5) $\frac{x^{-2}}{x^{-2} - y^{-2}} : \left(\frac{x^{-2}}{x^{-2} - y^{-2}} - \frac{x^{-2} + y^{-2}}{x^{-2}}\right);$

6) $\frac{x^{-10} - 4}{x^{-5}} \cdot \frac{1}{x^{-5} + 2} - \frac{x^{-5} + 2}{x^{-5}};$

7) $\left(\frac{4c^{-6}}{c^{-6} + 1} - \frac{c^{-6}}{c^{-12} + 2c^{-6} + 1}\right) : \left(\frac{4c^{-6} + 3}{c^{-12} - 1} + \frac{2c^{-6}}{c^{-6} + 1}\right).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1)

Раскроем скобки, используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ и формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
$(a^{-5} - 1)(a^{-5} + 1) - (a^{-5} - 2)^2 = ((a^{-5})^2 - 1^2) - ((a^{-5})^2 - 2 \cdot a^{-5} \cdot 2 + 2^2)$
$= (a^{-10} - 1) - (a^{-10} - 4a^{-5} + 4)$
Теперь раскроем вторые скобки, поменяв знаки:
$a^{-10} - 1 - a^{-10} + 4a^{-5} - 4$
Приведем подобные слагаемые:
$(a^{-10} - a^{-10}) + 4a^{-5} + (-1 - 4) = 4a^{-5} - 5$

Ответ: $4a^{-5} - 5$

2)

Преобразуем степени с отрицательными показателями в дроби:
$\frac{y^{-2} - x^{-2}}{x + y} = \frac{\frac{1}{y^2} - \frac{1}{x^2}}{x+y}$
Приведем дроби в числителе к общему знаменателю $x^2y^2$:
$\frac{\frac{x^2 - y^2}{x^2y^2}}{x+y}$
Разделим числитель на знаменатель:
$\frac{x^2 - y^2}{x^2y^2(x+y)}$
Разложим числитель по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$\frac{(x-y)(x+y)}{x^2y^2(x+y)}$
Сократим общий множитель $(x+y)$:
$\frac{x-y}{x^2y^2}$

Ответ: $\frac{x-y}{x^2y^2}$

3)

Заметим, что знаменатель первой дроби является полным квадратом, а знаменатель второй дроби — разностью квадратов.
$a^{-6} - 2a^{-3}b^{-6} + b^{-12} = (a^{-3})^2 - 2(a^{-3})(b^{-6}) + (b^{-6})^2 = (a^{-3} - b^{-6})^2$
$a^{-6} - b^{-12} = (a^{-3})^2 - (b^{-6})^2 = (a^{-3} - b^{-6})(a^{-3} + b^{-6})$
Подставим преобразованные знаменатели в исходное выражение:
$\frac{a^{-3} - 3b^{-6}}{(a^{-3} - b^{-6})^2} - \frac{a^{-3} + 3b^{-6}}{(a^{-3} - b^{-6})(a^{-3} + b^{-6})}$
Приведем дроби к общему знаменателю $(a^{-3} - b^{-6})^2(a^{-3} + b^{-6})$:
$\frac{(a^{-3} - 3b^{-6})(a^{-3} + b^{-6}) - (a^{-3} + 3b^{-6})(a^{-3} - b^{-6})}{(a^{-3} - b^{-6})^2(a^{-3} + b^{-6})}$
Раскроем скобки в числителе:
$(a^{-6} + a^{-3}b^{-6} - 3a^{-3}b^{-6} - 3b^{-12}) - (a^{-6} - a^{-3}b^{-6} + 3a^{-3}b^{-6} - 3b^{-12})$
$= (a^{-6} - 2a^{-3}b^{-6} - 3b^{-12}) - (a^{-6} + 2a^{-3}b^{-6} - 3b^{-12})$
$= a^{-6} - 2a^{-3}b^{-6} - 3b^{-12} - a^{-6} - 2a^{-3}b^{-6} + 3b^{-12} = -4a^{-3}b^{-6}$
Таким образом, итоговое выражение:
$\frac{-4a^{-3}b^{-6}}{(a^{-3} - b^{-6})^2(a^{-3} + b^{-6})}$

Ответ: $\frac{-4a^{-3}b^{-6}}{(a^{-3} - b^{-6})^2(a^{-3} + b^{-6})}$

4)

Заменим деление умножением на обратную дробь:
$\frac{m^{-4} + n^{-4}}{n^{-10}} : \frac{m^{-4}n^{-6} + n^{-10}}{n^{-2}} = \frac{m^{-4} + n^{-4}}{n^{-10}} \cdot \frac{n^{-2}}{m^{-4}n^{-6} + n^{-10}}$
В знаменателе второй дроби вынесем общий множитель $n^{-6}$:
$m^{-4}n^{-6} + n^{-10} = n^{-6}(m^{-4} + n^{-4})$
Подставим это в выражение:
$\frac{m^{-4} + n^{-4}}{n^{-10}} \cdot \frac{n^{-2}}{n^{-6}(m^{-4} + n^{-4})}$
Сократим общий множитель $(m^{-4} + n^{-4})$:
$\frac{1}{n^{-10}} \cdot \frac{n^{-2}}{n^{-6}} = \frac{n^{-2}}{n^{-10} \cdot n^{-6}} = \frac{n^{-2}}{n^{-16}}$
Используем свойство степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$n^{-2 - (-16)} = n^{-2+16} = n^{14}$

Ответ: $n^{14}$

5)

Сначала упростим выражение в скобках. Приведем дроби к общему знаменателю $x^{-2}(x^{-2} - y^{-2})$:
$\frac{x^{-2}}{x^{-2} - y^{-2}} - \frac{x^{-2} + y^{-2}}{x^{-2}} = \frac{(x^{-2})^2 - (x^{-2} + y^{-2})(x^{-2} - y^{-2})}{x^{-2}(x^{-2} - y^{-2})}$
В числителе используем формулу разности квадратов:
$\frac{x^{-4} - ((x^{-2})^2 - (y^{-2})^2)}{x^{-2}(x^{-2} - y^{-2})} = \frac{x^{-4} - (x^{-4} - y^{-4})}{x^{-2}(x^{-2} - y^{-2})} = \frac{x^{-4} - x^{-4} + y^{-4}}{x^{-2}(x^{-2} - y^{-2})} = \frac{y^{-4}}{x^{-2}(x^{-2} - y^{-2})}$
Теперь выполним деление:
$\frac{x^{-2}}{x^{-2} - y^{-2}} : \frac{y^{-4}}{x^{-2}(x^{-2} - y^{-2})}$
Заменим деление умножением на обратную дробь:
$\frac{x^{-2}}{x^{-2} - y^{-2}} \cdot \frac{x^{-2}(x^{-2} - y^{-2})}{y^{-4}}$
Сократим общий множитель $(x^{-2} - y^{-2})$:
$\frac{x^{-2} \cdot x^{-2}}{y^{-4}} = \frac{x^{-4}}{y^{-4}} = (\frac{x}{y})^{-4} = (\frac{y}{x})^4 = \frac{y^4}{x^4}$

Ответ: $\frac{y^4}{x^4}$

6)

Сначала выполним умножение. Разложим числитель первой дроби $x^{-10} - 4$ как разность квадратов: $(x^{-5})^2 - 2^2 = (x^{-5}-2)(x^{-5}+2)$.
$\frac{x^{-10} - 4}{x^{-5}} \cdot \frac{1}{x^{-5} + 2} - \frac{x^{-5} + 2}{x^{-5}} = \frac{(x^{-5}-2)(x^{-5}+2)}{x^{-5}} \cdot \frac{1}{x^{-5} + 2} - \frac{x^{-5} + 2}{x^{-5}}$
Сократим множитель $(x^{-5}+2)$:
$\frac{x^{-5}-2}{x^{-5}} - \frac{x^{-5} + 2}{x^{-5}}$
Теперь выполним вычитание дробей с одинаковым знаменателем:
$\frac{(x^{-5}-2) - (x^{-5} + 2)}{x^{-5}} = \frac{x^{-5}-2 - x^{-5} - 2}{x^{-5}} = \frac{-4}{x^{-5}}$
Используем свойство степени $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:
$-4 \cdot x^5 = -4x^5$

Ответ: $-4x^5$

7)

Для удобства введем замену $x = c^{-6}$, тогда $x^2 = c^{-12}$. Выражение примет вид:
$(\frac{4x}{x+1} - \frac{x}{x^2 + 2x + 1}) : (\frac{4x+3}{x^2 - 1} + \frac{2x}{x+1})$
Упростим выражение в первой скобке. Заметим, что $x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2$.
$\frac{4x}{x+1} - \frac{x}{(x+1)^2} = \frac{4x(x+1) - x}{(x+1)^2} = \frac{4x^2 + 4x - x}{(x+1)^2} = \frac{4x^2 + 3x}{(x+1)^2} = \frac{x(4x+3)}{(x+1)^2}$
Упростим выражение во второй скобке. Заметим, что $x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$.
$\frac{4x+3}{(x-1)(x+1)} + \frac{2x}{x+1} = \frac{4x+3 + 2x(x-1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{4x+3 + 2x^2 - 2x}{(x-1)(x+1)} = \frac{2x^2 + 2x + 3}{x^2-1}$
Теперь выполним деление:
$\frac{x(4x+3)}{(x+1)^2} : \frac{2x^2 + 2x + 3}{x^2-1} = \frac{x(4x+3)}{(x+1)^2} \cdot \frac{x^2-1}{2x^2 + 2x + 3}$
$= \frac{x(4x+3)}{(x+1)^2} \cdot \frac{(x-1)(x+1)}{2x^2 + 2x + 3}$
Сократим $(x+1)$:
$\frac{x(4x+3)(x-1)}{(x+1)(2x^2 + 2x + 3)}$
Вернемся к исходной переменной $c$, подставив $x = c^{-6}$:
$\frac{c^{-6}(4c^{-6}+3)(c^{-6}-1)}{(c^{-6}+1)(2(c^{-6})^2 + 2c^{-6} + 3)} = \frac{c^{-6}(4c^{-6}+3)(c^{-6}-1)}{(c^{-6}+1)(2c^{-12} + 2c^{-6} + 3)}$

Ответ: $\frac{c^{-6}(c^{-6}-1)(4c^{-6}+3)}{(c^{-6}+1)(2c^{-12}+2c^{-6}+3)}$