Номер 875, страница 220 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Квадратные уравнения. Упражнения для повторения курса алгебры 8 класса - номер 875, страница 220.

Условие.

875. Найдите значение выражения:

1) $11^{-23} \cdot 11^{25},$

2) $3^{17} \cdot 3^{-14},$

3) $4^{-16} : 4^{-12},$

4) $10^{-15} : 10^{-14} \cdot 10^{-2},$

5) $(14^{-10})^5 \cdot (14^{-6})^{-8},$

6) $\frac{3^{-12} \cdot (3^{-6})^{-3}}{(3^{-3})^{-4} \cdot (3^{-4})^2}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Для решения используем свойство степеней: при умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

$11^{-23} \cdot 11^{25} = 11^{-23+25} = 11^2 = 121$.

Ответ: 121

2) Применяем то же свойство, что и в первом примере: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

$3^{17} \cdot 3^{-14} = 3^{17 + (-14)} = 3^{17-14} = 3^3 = 27$.

Ответ: 27

3) Для решения используем свойство степеней: при делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются $a^m : a^n = a^{m-n}$.

$4^{-16} : 4^{-12} = 4^{-16 - (-12)} = 4^{-16+12} = 4^{-4}$.

Используем свойство отрицательной степени $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.

$4^{-4} = \frac{1}{4^4} = \frac{1}{256}$.

Ответ: $\frac{1}{256}$

4) Выполним действия по порядку, используя свойства умножения и деления степеней с одинаковым основанием.

Сначала деление: $10^{-15} : 10^{-14} = 10^{-15 - (-14)} = 10^{-15+14} = 10^{-1}$.

Затем умножение: $10^{-1} \cdot 10^{-2} = 10^{-1 + (-2)} = 10^{-3}$.

$10^{-3} = \frac{1}{10^3} = \frac{1}{1000} = 0,001$.

Ответ: 0,001

5) Сначала используем свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

$(14^{-10})^5 = 14^{-10 \cdot 5} = 14^{-50}$.

$(14^{-6})^{-8} = 14^{-6 \cdot (-8)} = 14^{48}$.

Теперь перемножим полученные выражения: $14^{-50} \cdot 14^{48} = 14^{-50+48} = 14^{-2}$.

$14^{-2} = \frac{1}{14^2} = \frac{1}{196}$.

Ответ: $\frac{1}{196}$

6) Упростим отдельно числитель и знаменатель дроби, используя свойства степеней.

Числитель: $3^{-12} \cdot (3^{-6})^{-3}$. Сначала возводим степень в степень: $(3^{-6})^{-3} = 3^{-6 \cdot (-3)} = 3^{18}$. Затем умножаем: $3^{-12} \cdot 3^{18} = 3^{-12+18} = 3^6$.

Знаменатель: $(3^{-3})^{-4} \cdot (3^{-4})^2$. Возводим в степень: $(3^{-3})^{-4} = 3^{-3 \cdot (-4)} = 3^{12}$ и $(3^{-4})^2 = 3^{-4 \cdot 2} = 3^{-8}$. Затем умножаем: $3^{12} \cdot 3^{-8} = 3^{12+(-8)} = 3^4$.

Теперь разделим числитель на знаменатель: $\frac{3^6}{3^4} = 3^{6-4} = 3^2 = 9$.

Ответ: 9